2.4 面

“几何图霸”中的面一般指多面体的“面”,实际上是一个凸多边形,而在几何中,面是平的且无限大的。

面的构造

法1 先选取三个以上(含三个)的同一平面内的点,然后用【构造-面-消隐面】命令或用【面】工具,构造一个用于消隐的多边形表示的面,一般还要同时用【线】工具构造多边形的边。它的内部已经【填充】颜色。如果用【体】工具创建的多面体,它的面初始时是未填充的,但可以使后面线自动虚线,选取时会显示红色。

法2 用【面】工具在绘图区构建。三个以上点时可以右击完成,前三个点为自由点,也可以用线上点或圆上点,其它点为了共面,只能是前三点所确定的平面内的点。

图霸中的多边形是平面的凸多边形,如果要使用凹多边形,可以把它们分成几个凸多边形并且填充相同颜色。在拖动其顶点的时候,还要保持共面。

面的方向

射线、向量的方向比较好理解,其实面也有方向,有正面,也有反面。图霸中用右手螺旋系确定面的正向,右手四指环绕面的顶点,大拇指所指为正向。

几何图霸

下面左图中面ABC的上面是正面,若用【编辑-修改-线面圆反向】命令后,面的顶点顺序将改为CBA,这时正向向下,如右图。【光照】处理时正面是图元颜色,反面是标签颜色。在构造面时,选点要注意顺序。水平放置的图形,逆时针点选时向上一面为正。用状态栏中颜色工具修改反面的颜色,或者用【编辑-修改-修改标签】命令,在标签属性对话框中修改标签的颜色。它就用于光照时反面的颜色。

几何图霸

 

线的垂面

选取一线和线外一点,可以用【构造-面-线的垂面】,构造一个过该点的线的垂面。注意此点不能在线上,若在线上时另有方法。

过点P作直线l的垂面α,如图:

几何图霸

 

面的平行面

选取一面和面外一点,可以用【构造-面-面的平行面】,构造面的平行面。过点P作面α的平行面β,如图。

几何图霸

相交面

用【自定义工具】中的【立体几何工具】中的有关面的工具,可以方便地添加面。

几何图霸

要画两个平面的交线,可以通过线与面的【交点】来构造,如图所示:

几何图霸

面的属性

选取一个面后,用【属性】工具或直接在一个面上右击,选取【属性】菜单项,弹出【面属性】对话框。如图:

几何图霸

不同显示方式效果比较:

几何图霸

如果要使用或取消【填充】、【光照】、【透明】,还可以一次选取多个面,用【常用-修改】中的【填充】、【光照】、【透明】工具完成。

面的颜色可以设置【半透明材质】,并进一步修改其【透明度】(【颜色】工具中)。透过面朦胧可见下层的部分颜色。消隐面可以透过一切且可把线自动虚线。

面显示方式用填充时,可以选择图案:

几何图霸

显示方式用光照或透明时,可以选择纹理贴图。下图中四边形使用了纹理图片,点运动时图片可以自动裁剪,保持清晰。要更换图片,可以用【编辑-修改-更换贴图】命令。

几何图霸

可以使用透明纹理,当选用“png”格式时支持含透明层的32位图。添加一个动态的二面角(可以改变二面角大小,使蝴蝶扇动翅膀),为两个半平面添加纹理。更换纹理为蝴蝶图,“透明”,显示如下(图片用蝴蝶一半,png格式,32位色,含透明层):

jhtbhelp

下图是正方体的各个面使用不同显示方式时的效果,观察比较各种方式的优点,根据需要灵活选择。

几何图霸

重叠面

【面】工具,可以快速添加两个多边形的交集。选择两个水平放置的凸多边形(保证在运动中两者各顶点坐标的z值相同),用【常用-工具-面】工具可以添加重叠面。

图霸界面

由于m边形与n边形的交集(即重叠部分)也是一个多边形,且顶点最多有m+n个。而实际问题中一般没有这么多的顶点。因此程序会提供对话框供你输入顶点数。请根据情况,填写在运动过程中可能出现的最多的顶点数。如上图,四边形与三角形的交集最多可能7个顶点,但当EF在BC上运动时,梯形与正三角形最多是4个顶点。因此改为4.

图霸界面

添加的四个顶点从左下方开始依逆时针顺序编号为1-4,第一个顶点为首顶点。其余三个本应是它的兄弟,但图霸中作为它的后代处理,删除首顶点,其余的也被删除,修改首顶点的显示隐藏属性也会影响其它顶点。添加的顶点也不是总显示的,这是因为公共部分的边数是会变化的。当变为三边形时,第四个顶点在图霸中就被自动隐藏了。在解决有关重叠面积的问题时,常常选择隐藏首顶点而添加线段间的交点。如下图,不显示点1,2,3,4;显示线段CD与EG的交点I.

图霸界面

面内的点与多边形内的点

选取不共线的三个点,用【构造-点-对象上的点-对象上的点】可构造【面内的点】。下图中点D是面ABC内的点,它可以在平面内移动,不受三角形边界的限制。

选取一个面,用【构造-点-对象上的点-对象上的点】可构造【多边形内的点】。选取一面,用【点】工具也可以更方便地构造【多边形内的点】。点H是多边形内的点,它只能在三角形EFG内或边上移动。这两种点均有两个独立参数就可以控制,不同于三度自由点,它有一个参数受面的约束,是二度自由点,也可叫面自由点。

几何图霸

 

例2.4.1:绘制一个三棱锥

1.【三维】视图,【点】工具构造全自由点A,再在点A上击两次构造点A的【二维随从点】B、C。选取点A,再点击【点】工具按钮,添加【自由随从点】D,它的位置是随机的。也可以用【构造】选项卡中【点】命令组中的命令构造这些点,但不如【常用-点】工具方便。

几何图霸

2. 双击点D,【属性】中修改坐标的z值为6。【二维】视图下,拖动点A,使它们放在图形区中间附近,拖动其它三点,大致如下图排列。

几何图霸

【二维】视图或【三视图】下更可以看出点的相互位置。对象列表中看一看这四个点的类型。

3. 进入【三维】视图,在属性中看一下四个点的坐标,前三点是在水平面内的,点D在它们上方,四点不共面。

用【面】工具在绘图区的点A、B、C三点上分别单击,移动后右击鼠标,添加底面ABC,正面向上。先选择三点A、B、D,再点【面】工具,添加一个消隐面,正面向外。同样添加面BCD,面CAD。注意点的顺序。后三个面的正向均指向形外,用右手螺旋试一试,你能否确定面的正向。【线】工具添加线段AD、BD、CD。

几何图霸

4. 【常用-视图-绕轴转】,再击停止,换个角度观察,被面遮住的线自动虚线。拖动点,改变位置。在拖动点D上下移动的同时按住【Ctrl】键。再【绕轴转】,看是否平稳。切换到【二维】视图(实质是俯视图)查看,再拖动点D到三点中间,或修改点D的坐标。三维图形随意拖动时容易把点拖“歪”,要到【二维】视图中修改一下,再切换到【三维】视图。

几何图霸

5. 选择一个面,【属性】中修改显示方式。底面使用贴图,后面填充斜线,显示标签,改标签为α。选取底面,【编辑-修改-反向】。这时四个正面均向形外。

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6. 选取底面,【点】工具添加形内的点E,【线段】工具添加DE,修改颜色。拖动点E。

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7. 选一个面,【属性】中改显示方式为“光照处理”,使用纹理12,并勾选“显示方式用于本页已有面”。按【Ctrl+P】键全选点,【Ctrl+L】键全选线,【隐藏对象】。

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8. 按【F3】键或用【三视图】工具,切换到显示三视图。拖动图霸窗口的边框,改变窗口大小,使三视图显示如下。再按【F3】切回直观图。

几何图霸

 

练习:

绘制一个四棱锥,修改面的属性,学习使用三视图。

 

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