2.5 约束点

一个点,比如中点、交点,其构造方式完全决定于它的父对象。这种点不能自己移动,只能在其父对象中至少有一个移动时才能移动。因而,一条线段的中点不能移动,除非线段的端点至少有一个移动而导致线段产生运动;两条线段的交点不能移动,除非相交的这两条线段有一条或两条发生了移动;一个点的反射像点不能移动,除非反射原像点或反射镜面发生了移动。这类点称为约束点。本课学习中点、交点和三角形的五心。

中点

选取一条或多条线段,用【点】工具或用【构造-点-中点】命令,可以添加这些线段的中点,中点的父母是线段。但是选两条线段时,要用【中点】命令,这时【点】工具是用于作交点的。

选择两点,用【中点】工具可以作出二等分点(所连线段的中点),这时不能用【点】工具,它用于作对称点。

例如,要作出下图中的中点M,可以选取线段AB,用【点】工具,也可以选取两点A、B,用【中点】工具。

几何图霸

交点

图霸中的交点是指两个图元的公共点,有直线、圆弧、面、曲线、轨迹间的交点共12种类型,如下图:

几何图霸

图中画圈表示同一类型的两个图元相交,红线表示可以是空间图形(共9种类型),黑线表示必须是同一水平面(平行于XOY平面)内的图形(共3种类型)。

要添加交点有两种方法:

1、选择上述两个图元,用【构造-点-交点】命令。

2、任选线、圆、曲线、轨迹两对象或一线一面或一圆一面,用【点】工具画交点。

直线与圆的交点以及圆与圆的交点,与我们平时平几中的情形不一样。由于两个图元不一定在同一平面内,若用【交点】命令添加,必须同时加入两个点。如果你只需要一个点,可删除另一个。如图,点A、B是两圆交点;点C、D是直线与圆交点;点E是直线与直线交点。如果选取直线AE和蓝色圆,添加【交点】,那么将会见到一点与点A重合,另一点无效,当你改变圆或直线位置时,如果有两个交点,另一点会自动显示。因此,当你添加交点时,如果未见到图元,那么这些点可能暂时是无效的,但它已经添加了。拖动点改变位置,它就可能出现。

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线段与线、面、圆、曲线、轨迹相交时,若交点不在线段上,此交点无效,不会显示。射线、向量也类似。但仅检查交点是否在直线型对象上,对圆弧不作限制。

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有些图元间的交点个数较多,比如下图中的线段与正弦线。但图霸最多支持32个。如果当前状态交点个数较少,你也可以先添加较多个数的交点,当移动图元时会自动显示新的交点。下图中有11个交点,你可以加入13个,其中2个不显示。当你拖动直线时,它们有可能显示出来,因此在添加时尽可能移动到最多交点个数时添加。

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直线与曲线(或轨迹)的交点排列的顺序依照点在直线上的位置。删除一个交点时不影响其它交点。不建议为两个图元多次添加交点。

三维空间中图元交点的计算没有同一水平面内的图元准确,比如曲线与曲线交点为两小线段交点。因此建议使求交点的两个图元共面,并且适当增加曲线或轨迹的精度。

当直线与圆的一个交点已知时,如何作另一交点呢?见下图:

几何图霸

这时用【交点】命令不够好,可以先画点C在线AD上的投影M,再画点A关于点M的对称点B即可。如下图:

几何图霸

已知直线与有心二次曲线的一个交点画另一个交点也有类似方法,可以用自定义工具中的【圆锥曲线工具】实现。

直线和球交点

选择直线和球,【构造-交点】,或直接用【点】工具构造。如下图中的P,Q就是圆柱的母线与球的交点。

jhtbhelp

三角形五心

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心称为三角形五心。如图,选取三点A、B、C,可以用【构造-点-五心】中相应命令添加三角形五心:点O、I、G、H、E。其中O、G、H三点必在同一直线上,这条线就是有名的欧拉线。旁心有三个,改变三点的选取次序,可以添加另两个。

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例2.5.1:画出平面与正方体相截得到的正六边形截面图。

1.【三维】视图下,【柱】体工具添加正方体ABCD-A1B1C1D1.

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2.选取线段DA、AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D,【点】工具同时添加它们的中点E、F、G、H、I、J。图形区空白处点击,取消线的选择。依次选取六个中点,【线】工具添加6条边,【面】工具添加面。按住【Ctrl】键拖动标签,移动其位置。

3.【线】工具构造线段A1C,选取A1C和面EFGHIJ(在同一处点击,直至该面被选取为止),【点】工具构造线与面的交点。

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4.按住【Alt】时再按“>”键,切换标签自动放缩。鼠标滚轮滚动,放缩视图,拖动改变视角。

5.【Ctrl+P】键全选点,【显示-隐藏标签】。仅选面EFGHIJ,【二维】视图工具,动态转动视角,面正对观察者,显示成正六边形。

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6.【三维】视图,恢复默认。

 

练习:

画三角形的三条中线及重心G、外心O、垂心H。度量OG与GH的长度,思考两者有何关系。

 

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