2.6 与垂直有关的点

垂直是一种重要的关系,先学习与它有关的几种点,然后就可以方便地绘制垂线了。

投影点

投影点有两种:点在线上的投影及点在面上的投影,它们也是约束点。

选择一点,再选一线或多条线(或多个面),用【构造-点-投影点】工具添加投影点。

左图中,点D是点C在线AB上的投影;右图中,点F是点E在面ABCD内的投影。当点C在AB上时C、D两点重合,不能画出线段。

几何图霸 几何图霸

如果一点就在线上或面内,作线或面的垂线不能用投影点,可以用【线垂线上的等距点(或伸缩点)】或【面垂线上的等距点(伸缩点)】;也可把此点按平面法向量平移而构造【面法线上的点】;还可以用【垂线】命令添加【垂线上的点】。

线垂线上伸缩点

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【插入-多面体-长方体】,上图中的点D是长方体的一个顶点。它满足DA⊥AB,即在AB的垂线上且可以改变与A的距离。这样的点命名为“线垂线上伸缩点”。它是AB垂面内的一个自由点,故是二度自由点。一般构造矩形结构的图形时常用之。

构造时先选取它的父母:点A与点B,然后用【构造-点-垂线上伸缩点】命令。

线垂线上的等距点

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【插入-多面体-正方体】,上图正方体中的点A、B可以确定正方体的位置及棱长,那么两个顶点能确定一个正方体吗?当然不行。还需要确定点D。当AB固定时,若要保持正方体这一属性,点D应能在AB的垂面内绕AB而转动,满足DA⊥AB,DA=AB。我们把这样的点D叫线AB的垂线上的等距点。

依次选取点A、B,用【构造-点-垂线上等距点】,可作出点D。

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从图可以看出,用鼠标拖动点D,它可在以A为圆心,AB长为半径,与AB垂直的一个平面内的圆上运动,只不过图霸中省去了这个圆。因此,点的参数值类似于圆上的点,也表示一个角。

等边三角形顶点

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选取两个点,用【插入-多边形-等边三角形】,追踪顶点C,可得上图。点C可以绕AB转动。设AB的中点为M,则MC⊥MB且MC:MB=√3,即C是MB垂线上的定比点,其参数t的含义类似于"线垂线上的等距点"。

面垂线上伸缩点

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如图,点A1是长方体的一个顶点,它可在A、B、D确定的平面的垂线AA1上伸缩,这样的点称为面垂线上伸缩点,它是一度自由点, 可以【度量-点的值】。

依次选取点A、B、D(注意顺序,它确定AA1的正方向),用【构造-点-垂线上伸缩点】,可作出点A1。

点A1的参数t表示有向线段AA1的数量,当向量AB、AD、AA1成右手螺旋系时t为正。当A1被拖到面ABCD下方时,t将为负数。

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面垂线上的等距点

如图,依次选取三点A、B、C,用【构造-点-垂线上等距点】,可构造面ABC的垂线上的点D,它满足DA=AB,向量AB、AC、AD成右手螺旋系,可用于画垂线,构造正方体等结构。

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公垂线段端点

选取两条线,用【构造-线-公垂线段】,可加入两个公垂线段端点,公垂线段端点是一条直线上到另一条直线上距离最近的点。如图,EF是异面直线AB、CD的公垂线段,点E是直线AB上到CD最近的点,点F是直线CD上到AB最近的点。

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面垂线上点

选择一点多面或多点一面,用【构造-线-垂线】命令作过点的面的垂线。如图点E就是过点D的面ABC垂线上点。

D在面外时为投影,D在面内时为单位法向量的终点。程序自动判断D的位置,从而使线总可以画出。

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线垂线上点

选择一点多线或多点一线,用【构造-线-垂线】命令作过点的线的垂线,另一点即称为垂线上点。这里又有几种情况。

当点在线外时,此点实质为线上的投影点。如下图,选取点B和线AC、CD、DA,用【垂线】命令,可构造三条垂线。点E、F、G为垂足。

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当点在线上时,由于在三维空间中,过线上一点可以作无数条直线与该直线垂直。这些垂线在该直线的一个垂面内。若其中只有一条是水平放置的。图霸的【垂线】命令就作出这一条。若有无数条,此线应是平行于Z轴的,则作出与x轴平行的线。如下图,过点E作CD的垂线且水平的就是EF,选点E及线CD,用【垂线】命令即画出EF,它是单位长的,且与XOY平面平行(或重合)。过点P作DP的垂线,画出的PQ即与X轴平行。当然,这些画出的都是一种特殊的垂线,常用于平面几何中。

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若研究的对象和要作的线都在同一个水平面内,可以由平面几何知识知道,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。上面的画法对此就方便了。

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上图是二维平面几何图,三角形ABC所在平面始终平行于坐标面XOY。点D在边BC上,选择点D及线BC,用【构造-线-垂线】命令,作出的DE与高AF平行且是单位长的。

再看下左图,过点C作线AB的垂线CE,当点C是线外点时,点E可用投影点,但当C向线上的点D运动,两点重合时,线CD就不存在了。用“垂线上点”可自动判断,使这条垂线总存在。如图所示:

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由于图霸是动态图形软件,点C常常会改变位置。这样做就可以使过一点总能画出一条直线CE与AB垂直了。为平面几何研究带来方便。

在空间中,如果限定在一个面内,又如何画垂线呢?下图中,过点C,在面ABC内画线BD的垂线。

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这时可以用三垂线定理,先画出BD在面ABC内的射影,然后再画射影的垂线。如下图:

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如果要求过BD上的点F在面ABD内画BD的垂线,又如何画呢?

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可以先过点A作BD边上的高,再用平行线作出,如下图:

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怎样在面ABD内画线段BD的中垂线?除了类似上面的方法外,还可以利用三角形的外心,过中点M及外心E画直线即得。

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例2.6.1: 画三条线段OA、OB、OC,使它们等长且两两垂直。

1. 【线】工具,画线段AB,分别改点A、B标签为O、A。

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2. 选取点O、A,【构造-点-垂线上等距点】,改名为B。

3. 选取点O、A、B,【构造-点-垂线上等距点】,改名为C。【线】工具画线段OB、OC。

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4. 选取点O、A,【度量-两点间距离】,同法度量OB,OC。选三点A、O、B,【度量-角】,同法度量另两角,如上图。拖动点O、A、B。

学习了平移变换后就可以进一步构建出正方体。

例2.6.2: 过线段AB上一点C(C不与A、B重合)作AB的垂面。

1. 【三维】视图,绘制线段AB及其上一点C.

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2. 选取点C、A,【构造-点-垂线上伸缩点】D。

3. 选取点D,线AB,【构造-面-线的垂面】。拖动C,D两点。

例2.6.3: 画三角形三边的中垂线。

1. 【二维】视图,【常用-工具-自定义-平面几何工具-三角形】,绘图区按下鼠标,添加一个三角形ABC,右击鼠标,结束工具使用。

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2. 【线】工具中选【直线】工具,选取三条线段,【点】工具添加三个中点,选取点D,线AB,【构造-垂线】。同法构建另两边的中垂线。

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注意:此法只适用于画二维三角形的中垂线,三维中的可以根据中点及外心绘制。

练习

1. 画三角形的三条高及垂心。

2. 画三棱锥(见例2.4.1)的四条高,它们一定相交吗?

 

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