2.8 柱、锥、台、球

构建三维几何体常用【体】面板中的工具几何图霸,它既可以构建多面体棱柱、棱锥、棱台,也可以构建旋转体圆柱、圆锥、圆台和球,这一组是多功能的组合工具。

除此以外,一些特殊而常用的多面体还可以用【插入-多面体】中的工具几何图霸

旋转体还可以用【构造-旋转体】中的工具几何图霸

鼠标在对应图标上稍停就可以查看各个工具的使用方法。下面主要介绍【常用-体】命令组中的有关工具。

柱体

正方体——空选(不选择任何对象)

轴向长方体——单选一点,长方体的共顶点的三棱各与一条坐标轴平行(或重合)。

棱柱——选一点一面(上底顶点、底面)

圆柱——选两点(上下底中心)或三点(矩形三个顶点)

例2.8.1:绘制一个正五棱柱,底面水平放置,并添加内切圆柱。

1.【三维】视图,【插入-多边形-正五边形】,此五边形内部已经添加面,鼠标点击可以选择。

几何图霸

2. 选取A、B、C,【构造-点-垂线上伸缩点】。选取此点与底面,【柱】体工具构建正五棱柱。

几何图霸

构建时底面的首顶点将与选取的点相连构成侧棱,所以底面构建时要注意顺序。在棱柱构建完成后底面可以反向,不影响已构建的棱柱。

3. 选取A、B、D,【构造-外心】(三角形ABD外心也是正多边形的中心),改名O。同法构造上底面的中心O1。

4. 选取点O,线AB,【构造-投影点】P,选取O1、O、P,【柱】体工具构造圆柱,自动添加点Q(一些点的名称可能不同,根据需要选取后批量修改)。

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5. “对象列表”中,选取圆柱,【光照】。【Ctrl+F】键,全选面,【透明】。【隐藏】所有点、线、圆。再全选面,【颜色-自动随机色】,反复几次,满意为止。

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锥体

正四面体——空选

不选择任何图元,直接点击【锥】体工具,绘图区添加的是正四面体。拖动点A、B、C,观察图形的变化。对照对象列表中的说明,查看对象的类型。

点C是三维中等边三角形的顶点,选两点后用【插入-多边形-等边三角形】可以添加这样的点。点D用的是旋转点,在“旋转”一章学习。

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正三棱锥——单选一点

要绘制正三棱锥,可以先选择一个点作为确定位置的点,再用【锥】体工具。这些锥体的底面并非水平的,拖动点C,可以在空间翻转。

棱锥——选一点一面(顶点、底面)

圆锥——选两点(顶点及下底中心)或三点(直角三角形顶点)

例2.8.2:绘制一个正三棱锥,底面水平放置,并添加外接圆锥。

1.【三维】视图,【构造-心向圆】。选取圆,【插入-圆内接正多边形】,边数3,确定。选取三点C、D、E,【面】工具填充面CDE。

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2.选取点A,【构造-点-平行线上点-平行于z轴】上的点F。选取点F,面CDE,【锥】体工具添加三棱锥。选取面CDE,点击【面】工具,取消填充。拖动点C,旋转棱锥。

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3.选取点F、A、B,【锥】体工具,添加圆锥。对象列表中选取刚加入的圆锥的底面圆,删除。选取圆锥,【透明】,修改【颜色】为浅蓝。

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4.【线段】工具连接AF。选取一条线,【属性】中改显示方式为“全虚线”,并勾选“用于本页已有线”。【隐藏】底面圆。拖动动点。

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台体

正四棱台——空选

正四棱台(居中)——单选一点(z≠0)

棱台——选一点一面(棱锥顶点、底面)

圆台——选两点(上下底中心)或四点(直角梯形顶点)

球体

复杂球(含经纬圆等)——空选

简易球——选两点(球心及极点)

例2.8.3:绘制球及其内接圆台。

1.【三维】视图,【点】工具添加全自由点,改标签O,选取点O,状态栏中【平行于z轴直线上的点】工具几何图霸添加点B,【线段】工具添加线段OB,拖动点B,OB总平行于z轴。选取点O、B,【球】体工具,添加球O。

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2. 选取点O、B,【构造-点-垂线上等距点】C,选取O、C,【圆】工具添加平置圆,选取O、B、C,【构造-圆-心点圆】。选取此圆,【点】工具添加圆上点D。选取点D、线OB,【构造-点-投影点】E。

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3. 选取点E、O、C、D,【台】体工具添加圆台。选取球,【属性】中改显示方式为“立几模式”,选取线OB,【编辑-删除】,选取水平的一个大圆(圆台的下底与第2步中加入的圆重合),【删除】。

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4. 点击圆台的母线选取圆台(或对象列表中右击圆台),【属性】中改显示方式为“光照处理”,再分别选取上下底面的圆,改圆面,光照。选取球,【属性】中改显示方式【透明】,隐藏点标签。拖动动点。

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定位图

定位图中的点不可拖动,但可在属性中修改,图元各自独立,常用于立几中固定的框架。

用【常用-添加-定位图】工具创建几何体,打开如图所示对话框:

几何图霸->>>

“图的类型”共十五种:长方体、正棱柱、正棱锥、正棱台、正多边形、正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、圆、圆柱、圆锥、圆台、球。

若编辑“图的类型”,则自动修改为添加棱长为10的“正方体”。

上左图中的设置得到的圆台如右图:轴向指的是圆台的轴AB的方向,半径指下底面圆的半径,相似比指的是上下底的半径之比。其它不难理解。

例2.8.4:绘制菱形十二面体,它的12个面是全等的菱形。

1.【定位图】命令打开对话框,选择图的类型为正棱柱,高12,半径8*sqrt(2),底边数6,确定。

2. 选取上下两个底面,【删除】。点A【属性】中将坐标的z值-6改为-4,其它不变,确定。同样把点A1、C、C1、E、E1的坐标z值都加2,再把点B、B1、D、D1、F、F1的坐标都减2。添加【坐标点】G(0,0,12),H(0,0,-12)。

3. 【线】工具连接GA1、GC1、GE1、HB、HD、HF,【面】工具添加面GA1B1C1、面GC1D1E1、面GE1F1A1、面HBAF、面HDCB、面HFED。选取这些面,【填充】命令取消面的填充。

4. 观看下图,计算线段长度比,理解作图原理。度量角ABH、角ABB1、角B1BC、角DHF。

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个菱形组成。十八世纪初,法国人麻拉尔奇精确地测量了蜜蜂窝的大小,他发现三个菱形是一样的:锐角70度32分,钝角109度28分。蜜蜂不愧为大自然的天才建筑师!

5. 隐藏标签,拖动改变视角,使上下两面平行。由下图可知:有两个面平行,其余面都是平行四边形的多面体并不一定是棱柱。

 

旋转体属性

旋转体一般由圆、母线等组成。选取时点击母线,下图是选取圆台时情形。若在圆上点击,仅所取圆。圆与母线之间无母子关系,可以删除其一而不影响另一图元。

几何图霸

为了增强几何体的直观性,可以添加【光照】效果。可以在【个性设置】中【设置灯光属性】。

选取多个图元:点、线、面、圆、旋转体后,用【光照】工具可把图元的显示方式改为“光照处理”,再次选用它,取消“光照处理”,切换到“立几模式”。

光照时正反面可设置不同的颜色。选取对象,用【编辑-修改-修改标签】命令,在标签属性对话框中修改标签的颜色。它就用于光照时反面的颜色。

选用一个图元时,也可在图元【属性】对话框中修改:

几何图霸

下图中的双球运用“光照处理”,圆锥用“半透明材质“:

下图是透明、纹理、光照、网格的例子:

几何图霸

 

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