第三章 数形结合,让图形动起来

几何图霸是动态几何软件,用鼠标或操作按钮控制点在路径上运动,形成动画。运动和变量相结合,以数驭形显神奇。本章介绍度量计算,曲线轨迹,操作按钮等。

3.1 度量值与坐标

度量可以量化几何对象的大小、方向、坐标和其它特性。在几何图霸中,当您改变度量对象时,所有的度量值都被动态地更新。您可以经常通过观察这些度量如何变化、它们之间以及与图形中其它对象之间怎样相互联系来获得重要的数学洞察力。

在几何图霸中,图元的一些数量特征,如点的坐标、线段的长度、多边形的面积、向量的坐标都可以度量得到,度量的结果用动态文本表现在屏幕上。所有的度量都有一个值或坐标。

几何图霸

度量值

大多数度量含有一个单一的数值,称为度量值,另外参数和计算的表达式结果也是一个值。这些单一数值在您的绘图中有许多用途。可观察它们从而发现图形中各对象间的关系,可用于定义或控制绘图的表现,如控制变换、绘制坐标点,控制颜色及显示隐藏。

要创建一个新的度量值,请先选定要度量的对象,然后从【度量】选项卡中选择一个命令。

点【坐标】、【点的值】、【长度】或【距离】等还可以直接用【常用-度量计算】工具度量。

在图霸中,值是无单位的,即使是角,它显示的是度,但实际使用或计算时仍是用弧度数。运算中使用的精度是比您所见到的显示精度要高很多的,一般度量结果显示2位小数。选取它,用【显示-点大小、线宽度、值精度】中的相关命令可以对它的精度进行修改。

选取度量值或表达式,可用【文本标签】工具为式子重新命名,当使用文本格式时,删除标签的文字,显示时也不显示等于号。

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度量值名称可以隐藏。选取度量值,可以用【显示/隐藏标签】命令切换。隐藏时也不会显示等于号。仅对文本格式有效,数学格式无需隐藏。如下图度量三点角时的角度值。

下面对部分度量作解释:

1.【度量-二面角】

jhtbhelp

如图,依次选择点A、线段BC、点D,【度量-角-二面角】。选择两个面也可以度量二面角,但要注意两个面的方向。右手螺旋确定面的正向,两个法向所成角与二面角平面角互补。

2、【度量-比】

选取共线的三点A、B、C,度量它们定义的比AC:AB的值,同向为正,反向为负。(当三点不共线时与【点在线上的值】相同);或选取两条线段,度量它们的长度比。

3、【度量-斜率】

选取一条二维(两点的竖坐标z值相同)的直线或线段、射线、向量,度量它的斜率。

度量坐标

图霸不仅可度量出一个单一的值,还可以度量出三元数组,即点或向量的坐标,并对之进行运算。

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选定一个点,可【度量】出【点坐标】;选取一条线段(直线型对象均可,指确定它的两点决定的向量)可【度量】出【向量坐标】;选取一个面或三个不共线点,可【度量】出【平面法向量】坐标(已单位化)。

向量坐标的名称可以用文本格式显示,无箭头。选取后可以用【文本标签】工具修改为数学格式,如上图的最后三行的向量箭头。

选取一个或几个向量坐标,可用【度量】中【向量运算】命令进行计算。有的计算结果是数值,又可以用计算器进行数值计算。

向量坐标可以用于控制图元(如标志为平移向量)、判断图元间关系(比如计算混合积可以用于判断四点共面,计算数量积可以用于判断垂直、求夹角)等。

如果仅是研究平面向量,可以把它显示为二维形式(当然这只是显示,图霸中的对象都是三维的)。选取度量的向量,用【对象属性】命令,如图,按“是”即可。若它就是二维形式的,用【属性】命令又可恢复为三维形式。注意,Z值必须为0时才这样做。

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例3.1.1:向量的度量与计算

1. 【插入-多面体-平行六面体】,拖动动点,同时按住【Ctrl】键。【线段】工具连结A1、B、D。选取线AB,DA,AA1,【线段】工具下选择【向量】,把线段用向量显示。

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2. 选取向量DA,【编辑-修改-线面圆面反向】,将DA改成AD。选取向量AB,【度量-向量坐标】,选取度量的坐标,【文本标签】工具,打开“标签属性”对话框,勾选“数学格式”,“确定”。同样度量向量AD,AA1的坐标。

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3. 选取面ABCD,【度量-多边形面积】,选取度量的向量AB,AD的坐标,【度量-向量运算-向量积】,得到的是两向量叉乘的结果,也是一个向量。选取它,【度量】-向量运算-模】。可以发现向量积的模等于平行四边形的面积。可以查看高等数学中空间向量的相关内容。

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4. 选取A、B、D三点,【构造-垂线上伸缩点】E,【线段】工具添加向量AE。选取AE,【度量-两点间距离】。选取面ABCD,【度量-坐标-平面法向量】。

选取AE长度及平面ABC的单位法向量坐标,【度量-向量运算-数乘】,选取AE,【度量-向量坐标】,比较它与“数乘向量”的关系。拖动各动点,可见它们总是相等或相反向量。

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5.依次选取AB,AD,AA1三个向量坐标,【度量-向量运算-混合积】,它是前两个的向量积与第三个的数量积,结果是一个数值,值的正负与选取顺序有关。选取点A1、A、B、D,【度量-体积-四面体体积】。选取体积值,【度量-计算】,输入6与它的积。可以发现它与混合积的绝对值是相等的,都是平行六面体的体积。

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