3.2 点的值

线上的点

选用【点】工具,光标移动到一条直线(或线段、射线等直线型对象)上,线会变色高亮显示。在线上单击一下,就构造了直线上的点;也可以选取一条线,用【构造-点-对象上的点-对象上的点】来构造。如图,点P是直线AB上的一个自由点:

几何图霸

当点P满足几何图霸时,点P一定在直线AB上。由此可知直线上的点的参数的含义。比如:t=0时,P为A点;t=1时,P为B点;t=0.5时P为AB中点;t>1时,P为AB延长线上的点;t∈[0,1]时P为线段AB上的点。如果你设置点P在线段AB上的动画,那么参数范围就取[0,1],其余类推。

选取线上的点,用【度量-值-点的值】工具可以度量点的位置参数值。

拖动点A或点B,线AB上的点P总保持固定比例不变。线上的点除了“定比例”外,还可以设置其为“定距离”属性。

用【线工具】添加线段AB,【点工具】添加线上的点C,选取点C,【度量-值-点的值】,拖动点B,发现C在AB上的比AC:AB是不变的。双击点C,或选取点C,用【属性】命令打开“点的属性”对话框,把“点的参数值”从表示“定比例”改为“定距离”。再拖动点B,发现AC长度是固定的。

jhtbhelp

圆上的点

选用【点】工具,光标移动到圆(弧)上,单击一下,就构造了圆上的点;也可以先选取一个圆(或弧),用【点】工具或用【构造-点-对象上的点-对象上的点】命令,可以构造圆弧上点。如图,点P是过三点的圆ABC上的一个自由点:

几何图霸

点P的参数是射线OA转到OP的角(弧度),类似于教材上圆的参数方程中的参数,但角的正负与ABC三点的环绕方向有关,一致时为正。选取点P,用【度量-值-点的值】可以度量出这个参数,见图中的t(P)。用鼠标拖动点P,观察t的变化情况。其它类型的圆上点可以用此法去理解其含义。如果你添加点P的动画按钮,参数范围取[0,pi/2],那么P就在1/4圆弧上运动。

对象间的父子关系

几何图霸

如图:点C是AB的中点,E是CD上任一点。我们创建了这七个对象的同时也包括它们之间的关系。如果没有相互关系,图形就会被拖拽成分离的五个点与两条线。

图中C是AB中点,线段AB就是点C的父对象,C是AB的子对象。特别地,线段一定是其端点的子对象,图霸中没有脱离端点的单纯的线段。E是CD上的点,虽然可以运动,但它总是不能脱离线的。这样,图中的A、B、D是三个无父母的点,点A与点B的子女是线段AB,线段AB的子女是中点C,点C与点D的子女是线段CD,线CD的子女是点E。子女的子女称为后代,父母的父母称为前辈,等等。图中点E是点A的后代,点A是点E的前辈。你可以把一个绘图理解为一个由绘图中各个对象以及它们的父子对象的关系所定义的家谱。如果你删除了点A,点E就不能存在了,必然被删除。你复制点E时,它的前辈的信息也被复制;在粘贴时它的前辈也被粘贴,没有前辈A,不会出现后代E。剪切后再原地粘贴一般是不会还原的,往往会多出对象的前辈而少了后代,应该用【撤消】、【重做】命令。很显然,前辈对象总是先于其后代而构建的,但先构建的未必就是后构建的前辈,它们可能不是同一个结构中的。图中点F、G确定平置圆F,圆上动点H就是它们的后代。但点F与点A就不在一个结构中,相互独立。我们创建自定义工具时就要选择一个完整的结构,对象间的父子关系要理解清楚。

在“对象列表”中点击项目左边的加号可以查看一个对象的父对象。选取一些对象后,【编辑-选择父对象】或【选择子对象】命令可以查看所有符合条件的对象。

由于对象间的父子关系,使得对象相互联系,相互制约,实现动态效果。当你拖动鼠标改变点A位置时,它的后代也跟着变化了,但C是AB中点是不会变的,是不变性质。几何就是研究在变换下图形不变性质的一门科学。

点的值

点的值也是一个度量值,它比较复杂。度量点的值有两种类型:

1.当点是一度自由点时,它有一个自由度,就是它的动画参数。点的动画按钮,就是控制这个值的变化,使点在路径上运动。这个值又称为点的动画参数值。

选择该点,用【度量-数据-点的值】命令或者在右击弹出的快捷菜单中选【点的值t】命令,可以度量出该值。

例如,线上点,圆上点,曲线上点,轨迹上点均可用它度量点的动画参数。参数的含义请查看各点的定义。下图中,点C是选择圆A画的对象上的点。点C上右击鼠标,在弹出的菜单中选【点的值t】,度量结果是t(C)=2.09,表示的是角BAC=2.09弧度。

几何图霸

2.当点是任意点,并非对象上一度自由点时(虽然你可能认为它就在对象上,但它并不是用【对象上的点】构建的。如直线与圆的交点在圆上,它的类型是交点而不是一度自由点。)这时选择一点,还要再选择一线段(直线、射线、向量)或圆弧(圆)。可以度量点相对于线或圆弧的位置。值的含义说明如下:

(1)点相对于直线的值:

几何图霸

上图中点G是直线AB上的点,但不在线段上,选取点G度量点的值与选取G及AB度量点的值,结果是一样的,在线段左侧,向量AG与AB反向,值为负,大小为|AG|:|AB|.

点C及点D均不在直线上,度量的值与它在线上的投影点在线上的值相同。点E在线段AB上值为AE:AB,点F在右侧,向量AF与AB同向,值为正,大小为AF:AB。

直线AB是先选A再选B而构建的;直线BA则与它相反。度量的值是与顺序有关的。若要对线反向,可以用【编辑-修改-线面圆反向】命令,修改后,点的位置或值自动更改。点在AB上值是0.38,点在BA上的值就是0.62。

(2)点相对于线段(或向量)的值

几何图霸

从上图可见,点在线段上的值总在[0,1]范围内,在线段上时为AE:AB;在延长线上时为1,在反向延长线上时为0,主要看距离哪个端点更近,点F离B近就用B的值。当然点G的值不受影响,仍为负,它是动画参数值,度量时仅选一点;点G在线段AB上的值为0,度量时要选点及线段。要能区别“点的值”与“点在线上的值”。

(3)点相对于射线的值:

几何图霸

这种与前两种类似,先转化为投影点的值,投影点在对象上用该点的位置比,不在的用靠近的一端的点值。

(4)点相对于圆的值:

几何图霸

上图中,选取点C及圆A,【度量-数据-点的值】。得到C在圆弧c1上值为0.16,它表示射线AC在圆所在面内的投影AH与圆的交点E在圆上的相对位置,值为弧BE长:圆周长,值的范围为[0,1]。其中点B是圆的起始点。

选取圆A,构造圆上的点F。选取点F,度量点F的值为2.24,表示角BAF的弧度数为2.24;选取点F及圆A,度量点的值得F在圆弧上的值为0.36,表示弧BF长与圆周长之比。区别两种类型的值。一是圆参数方程中的参数值,一是弧长之比值。

(4)点相对于弧的值:

.几何图霸

上图中,如何定义点C在弧ST上的值?

点C不在圆所在面内,先转化为在圆面内的射影H。 点H不在圆上,转为射线AH与圆的交点E。C、H、E在弧上的值定义为相等的。

点E在圆弧上,值范围为[0,1],与圆类似,是一个比值,弧SE长:弧ST长=0.69.

点G不在弧上,离弧的起点近,在弧上的值与S的值相同,为0;点F也不在弧上,离弧的终点近,在弧上的值与T的值相同,为1。

点G与点F同时又是圆上的点,它们还有动画参数值。选一点可度量出,它们就是在圆上的值。t(G)=5.28指的是弧BTG的弧度数.

准确理解各种类型的点的值的含义是设计动画的基础。由点的位置得到值,由值又能去绘制点,实现数形结合。点动值变,再引起下一代点的运动,从而构建各种动态图形。

由值绘制路径点

对象上绘制点是根据值来绘制已有图元上的点。这种值可以先选取一个度量值或参数值或计算的结果,它是可以动态变化的。若未选取,则要在对话框中输入值,这时值是固定的。

(1)不选值或代表值的点的时候:

线、圆、曲线、轨迹四种单一路径对象或复合(组合)路径对象上的点均对应一个(或多个,如圆)参数值;一个参数值也对应一个点。

几何图霸

【线段】工具绘制线段AB。选取线段AB,用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】命令,在对话框中输入值1/3,确定。得到一个线段的三等分点。

几何图霸

双击该点,在属性中可见到此比例已经计算成0.333333。在图霸的数值框中可以使用不含变量的表达式,结果是被具体值代替。修改参数值为1/4,确定。此点改为四等分点。

下图中,圆A上点B为起点,点D的参数为π/2=90°。若要加一个固定参数为180°的点(B关于A的对称点),可以先选取圆,再用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】命令,在对话框中输入角(如图)即可。

几何图霸

(2)当选择一个值或代表值的点时:

选取的数值或对象上点的值将代替上面输入的参数。

下图,点P是圆A上的动点,在圆B上画一个点,使它的参数与点P的参数相同。只要选取点P和圆B,就可以用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】命令,添加点Q,点P在圆A上的参数被用作点Q在圆B的参数。当点P运动时,P的参数将发生变化,而点Q的参数与点P是相同的。因此点Q也将在圆B上运动。又圆上点的参数代表角,所以点Q与点P将以相同的角速度在各自的圆上运动。这种点用于构建动画或轨迹是很方便的。只要把P作为主动点,就可以控制从动点Q及其后代的运动。

几何图霸

先选取任一个线上的点,再选取一个圆,就可以绘制圆上与线上同参数的点。下图中点P是线AB上一点,选取点P及圆D,绘制圆上点Q,当P运动到AP=2AB时,点P参数为2,这时点Q的参数也为2,所以角EDQ为2弧度。这种构造可以把直线运动转化为圆周运动。

几何图霸

先选取任一个度量值或参数t,再选取一个圆,用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】或直接用【点】工具,就可以绘制圆上与度量值同参数的点,如下图。再添加参数的动画,就可以用数控制形的位置了。它把数的变化转化为点在圆上的运动。参数t的值的单位是弧度。

几何图霸

 

例3.2.1:点P在等边三角形ABC的边上按A-B-C-A顺序运动,在AB、BC两边上的速度相等,在CA上的速度是在AB、BC两边上的速度的一半。制作点P的动画。

1. 【二维】视图,【插入-等边三角形】ABC,【线段】工具,绘图区按下鼠标构造自由点D后移动鼠标,再按下【Shift】键移动,构造水平方向线段DE。选取线段DE,【点】工具添加中点F,选取点D、F,【构造-中点】G。【点】工具添加线段DE上动点H,改标签为M。选取点M,【常用-添加-动画影音】(以后简单地表述为添加点的动画),改播放次数为“循环”,参数增速为“慢速”。确定后随时可以双击按钮左边的按钮柄打开【属性】框修改。

几何图霸

2. 隐藏线段DE,【线段】工具连结DG、GF、FE。选取点M,线段DG,【度量-点的值】。同法度量出点M在线段GF上的值、点M在线段FE上的值。拖动点M,理解“点的值”的含义。

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3. 拖动点M到线段DG上,选取“点M在线DG上”的值和线段AB,【构造-点-对象上点-对象上绘制点】I(以后简单地表述为根据值绘制线上点),连结IC(注意顺序)。

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4. 选取点I,用【隐藏对象】命令隐藏点I。根据“点M在线GF上”的值绘制线IC上点J,隐藏线段IC,拖动点M到线段GF上,连结JA。

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5. 隐藏点J,根据“点M在线FE上”的值绘制线JA上点K,改标签为P,【光照】。隐藏线段JA。

几何图霸

6. 隐藏线段DG、GF、FE,显示线段DE,拖动点M或点击“动画”按钮,观察点P的运动。

本例的制作方法中重点学习点值的运用,不同速度的控制,以后用“缩放”变换,或用“复合路径”制作更简单。

练习:制作点P在正方形四边上运动的动画。

 

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