3.7 空间曲线与函数图象

“几何图霸”中的曲线由含t的参数方程定义,并在绘图区中绘制。函数图象可作为特殊的曲线。曲线的参数方程及参数范围中可以使用度量值变量,因而很容易对曲线进行动态控制,这对研究含参数的数学问题提供了极大的方便。

要构造新曲线,使用【常用-轨迹曲线】命令或【构造-曲线曲面-曲线-参数方程曲线】命令几何图霸定义您的曲线。当您确定后关闭“曲线”对话框时,它的图形将出现。

如果需要动态变化,请先选择已有的度量值或参数变量,然后再点击【常用-轨迹曲线】命令打开对话框。

图霸界面

函数f(x)的图象可以看作特殊的平面曲线,其中x=t,y=f(t),z=0。比如正弦函数 y=sin(x) 的参数方程为:

图霸界面

一些常用的曲线可以在“示例”中选择修改,注意参数方程中的参数t不是用户选择的“新建参数”。

选取曲线,可以在其【属性】中修改有关设置。请注意参数方程所使用的坐标系。曲线是用小线段去逼近的,因此参数的精度要适宜。如果参数围为[-10,10],精度0.02,则大约要绘制1000条线,这是可行的;如果改成精度0.0001,就不太合适了。

用小线段连接样本点绘制曲线有时会遇到问题。因为有些曲线是间断的,如双曲线y=1/x在原点处间断。当接近原点时左侧值很小,右侧值很大,用线段去连接原点左右两个点就不符合要求了,这时就必须间断。程序判断的方法是看相邻点间的距离,较大时曲线在此处断开。默认是4个单位,用户可以在属性中修改。通过设置适当的“精度”及“间断阈值”可以绘制出取整函数的图象(端点处不能自动标志空心圈),如下图:

曲线的标签可以显示在曲线的末尾处,默认不显示。

曲线及轨迹中都有分段着色选项。可以运用颜色函数为曲线或轨迹线的各部分自定义颜色。勾选“分段着色”,再点击【颜色】按钮,输入关于主动点t或函数中参数t的表达式。使该函数值域是[0,1)的子集,因为颜色会由[0,1)的值去确定。构造曲线时选取的度量值和参数会在计算器中的【数值】部分显示,可以用于颜色函数中。

图霸界面

附:空间坐标系相关知识

1.球坐标系

几何图霸

球坐标化直角坐标:

几何图霸

2.柱坐标系

几何图霸

柱坐标化直角坐标:

几何图霸

二维坐标轴

绘制函数图象前一般要绘制坐标轴。选取一点或不选,使用【插入-坐标系-二维坐标轴】命令插入一个2维轴部件,此部件看成一个整体进行设置,不同于用点与线来定义的工具。一般在【二维视图】模式下使用。

两轴是两条普通的线,两端及原点这五个点均同普通点,可以象其它点与线一样使用,点击它们可以修改颜色等。轴的四个端点可以拖动改变长度。视图放缩时,刻度线及刻度值间隔自动变化。

在刻度线与刻度值附近点击可以选择“二维轴部件”,用【对象属性】命令打开对话框修改属性。在【属性】中选取方形网格或极坐标网格,可显下列两种网格之一。改变图元颜色或标签颜色可以修改网格线及刻度值的颜色。

图霸界面 图霸界面

绘制三角函数图象等,可以使用“三角函数型”。若要使用数轴形式,可勾选“不显示y轴上刻度线及刻度值”,y轴不属于此部件,要另外删除并隐藏轴的端点。若要不显示刻度,使用【隐藏标签】命令。还可以修改刻度线间距及刻度值间距,刻度线间距不大于刻度值间距。对于三角函数型,x轴上的间距不能修改。

曲线上的点

选取一条曲线,用【点】工具或用【构造-点-对象上的点-对象上的点】来构造曲线上的自由点。曲线上点的值t的意义同曲线参数方程中的参数t。

几何图霸

上图中的点P值为1.62,把它代到其父对象的参数方程中就可以得出点P的坐标.

同样,选择曲线,用【对象上绘制点】命令可以绘制曲线上指定值或变量对应的点。

二维隐函数图

曲线最方便的表示方法是用参数方程,但有些曲线的显式方程或参数方程并不一定好求。比如平面中曲线 jhtbhelp, 这时我们也可以用隐函数方程 f(x,y)=0来表示二维的曲线。

在图霸中如果能用参数方程表示的,不建议使用隐函数方程。它的运算量大,精度低,绘制过程复杂。所绘图形上不能直接添加对象上点,不能直接添加与直线的交点。 所有函数y=f(x)都可以改写成隐函数形式y-f(x)=0,也可以改写成参数方程形式x=t,y=f(t),z=0,强烈建议使用后者。

要添加隐函数图象,点击【构造-曲线曲面-曲线】下的倒三角,再选择【二维隐函数图】命令,打开对话框,编辑函数表达式。如果要使用参数,必须先选择,然后点击命令按钮,这样在函数输入时可以使用变量。

jhtbhelp

例如:根据椭圆标准方程绘制椭圆

添加两个参数a,b,选取后,点击【二维隐函数图】命令,打开对话框,输入标签“椭圆”,使用默认的空间直角坐标系,点击方程下的按钮f(x,y),输入方程,方程右边为0。如下图所示

jhtbhelp

如果要自定义分段着色函数,点击颜色下的“自定义”,再点击hue(x,y)按钮,修改色调函数,输入if(y>0,0.6,0.3),确定后椭圆的上方蓝色下方绿色,如下图:

jhtbhelp

点击“极坐标"修改“坐标系”后,要重新编辑函数式及着色函数,因为极坐标下用的变量不是x,y,而是r,u。否则出错,你可能见不到图象。

范围及细分数直接在数值框中输入,不使用变量及参数,但可以输入计算式。它决定扫描区域及细致程度,包围盒直观地显示上述范围,当发现图形比包围盒小得多的时候,及时修改范围,减小不必要的计算。

由些图形不连续,相邻区域函数值产生突变,用“间断阈值”表示这个变化量。值小就易达到此值,图形会间断。图形间断还与细分数有关。

例3.7.1:绘制函数图霸界面的图象并分段着色。

分段函数是一个函数,不能绘制成三个函数,这就要将分段函数用一个表达式表示,用if()函数非常容易做到。

1. 【新建页】,【二维】视图,绘图区右击鼠标,菜单中选【属性】项,设置单位长40象素。

2. 【插入-坐标系-二维坐标轴】,拖动各轴两端点处的隐形点改变轴长,双击刻度值处,查看或修改坐标轴部件的各【属性】。

3. 【常用-轨迹曲线】命令打开曲线对话框,点击参数方程的“y(t)=”按钮,在计算器中输入:if(t<=1,t^2,t<=3,-1,4-t),参数t范围改为从-3到6,勾选“分段着色”,再点击【颜色】按钮,输入颜色表达式:if(t<=1,0,t<=3,0.3,0.6),间断阈值改为1,确定。

图霸界面

4. 选取曲线,【构造-点-对象上点-对象上绘制点】,输入值1,得点A。同样再绘制另三点B、C、D,值分别为1.0001,3,3.0001。选取点B,【属性】中改显示方式为“空心”,同样改点D。选取四点,【显示-点大小-输入值】8。隐藏四点的标签。

图霸界面

5. 选取曲线,【点】工具添加对象上点E,右击标签E,改名为P。选取点P,【度量-点的值】及【点坐标】。拖动点P,观察值的变化。选取点P,【属性】中改显示方式为"球形”。选取图象,【属性】中改显示方式为“仅实线”,点P遮住的线不显示了。

6. 选取点P,【动画】命令添加动画按钮,参数范围从-3到6,双向,循环。点击按钮,点P在图象上运动。

例3.7.2:绘制y=Asin(ωx+φ)的图象。

1. 【新建页】,【二维】视图,绘图区右击鼠标,菜单中选【属性】项,设置单位长40象素。

2. 【插入-坐标系-二维坐标轴】,拖动各轴两端点处的隐形点改变轴长,双击刻度值处,【属性】中修改类型为“三角函数型”。

图霸界面

3. 图形区右击,【新建参数...】,改名称为A,同样新建参数ω,φ。(中文输入法的图标上右击鼠标,点“软键盘”,选希腊字母,点击ω)

4. 依次选取参数A,ω,φ,【常用-轨迹曲线】命令打开曲线对话框,点击参数方程的“y(t)=”按钮,在计算器中输入:No1*sin(No2*t+No3),参数t范围改为从-2*pi到2*pi。

图霸界面

5. 拖动参数的滑动条,观察各个参数对图象的影响。选取参数φ,【属性】中改用角度值,从-360到360。

图霸界面

6. 选取曲线,改【颜色】,【显示】中改线宽。选取坐标系,【常用-修改-颜色】,改刻度线颜色,状态栏中【颜色】工具,改刻度值颜色。拖动刻度值到合适的位置。

例3.7.3:根据两个顶点绘制中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆及其焦点

1.【二维】视图,【属性】命令打开“页属性”对话框,改单位长为40。【插入-二维坐标轴】,拖动轴的端点改变长度。【点】工具在轴上移动,变色时点击,加入x轴上点A,y轴上的点B。它们作为椭圆的两个顶点,根据其坐标确定哪个是长轴的端点。

图霸界面

2.【度量】点A横坐标,点B纵坐标。依次选取两个坐标值,用计算器中的函数max()与min()【计算】它们的绝对值的最大值与最小值:max(abs(No1),abs(No2)),min(abs(No1),abs(No2))。由于点可能被拖动到负半轴,因此先计算绝对值。再分别改标签为a,b。

图霸界面

3. 选取坐标x(A)与y(B),【轨迹曲线】命令打开“曲线属性”对话框,示例中选“椭圆”,按照下图修改参数方程。

图霸界面

“确定”后关闭对话框,添加椭圆。

图霸界面

4. 选取计算值a、b,【计算】sqrt(a^2-b^2),改名为c。选取x(A)、y(B)、c,【计算】焦点的横坐标与纵坐标:if(abs(No1)>abs(No2),No3,0),if(abs(No1)>abs(No2),0,No3)。

当OA>OB时,焦点在x轴上,横坐标为c,纵坐标为0;否则焦点在y轴上,横坐标为0,纵坐标为c。

图霸界面

5. 选取第4步添加的两个计算,【点】工具添加坐标点,改名为F2。选取F2与原点,【点】工具添加点F2关于原点的对称点,改名为F1。

图霸界面

6. 拖动点A、点B,观看焦点位置。选取椭圆,【点】工具添加椭圆上动点,改名为P,【线段】工具添加线段PF1、PF2。选取点P,【动画影音】命令添加点P的动画。

图霸界面

例3.7.4:一个质点在三轴上的投影同时作简谐振动,即可以用公式Acos(ωt+φ)表示,点的轨迹叫李萨如图。当三个ω成整数比时,曲线是封闭的,绘制此曲线。

1. 【三维】视图,添加参数a、b、c、u、v(a、b、,c为正整数)。

2. 【常用-添加-定位图】,选长方体,长、宽、高改为12。隐藏点标签,删除面。

图霸界面

2. 依次选取5个参数,添加【曲线】:x=6*cos(a*t+u),y=6*cos(b*t+v),z=6*cos(c*t)。参数设置参考下图:

图霸界面

3. 拖动参数滑块,观察三维曲线的变化。选取曲线,修改【颜色】,【点】工具添加曲线上点P。选取点P,添加点P的【动画】,勾选“循环”。

图霸界面

4. 选取点P与一棱AB,作【投影点】,同样作点P在棱AD,AA1上的投影点。隐藏点的标签。执行动画,观看三个投影点作简谐振动。

例3.7.5:探究到两定点距离之积为常数的点的轨迹。

1. 【新建页】,【二维】视图,【插入-二维坐标轴】。

2. 【添加-坐标点】A(-4,0,0),B(4,0,0)。【新建参数】k并添加t的【动画】,范围都是从0到40。

3. 选取k,【构造-曲线曲面-曲线-二维隐函数图】,点击“方程”按钮,修改方程为:sqrt((x+4)^2+y^2)*sqrt((x-4)^2+y^2)-No1。

图霸界面

4. 点击动画按钮,观察图象的变化。到两定点距离之积为常数的点的轨迹叫卡西尼卵形线。

图霸界面

 

进入下一课

返回帮助目录