3.8 踪迹、墨迹、轨迹、形迹

快照

为屏幕上的一些选取的图元留下影像可以用【显示-踪迹、墨迹-对象快照】命令几何图霸。这个“影像”不会运动,当您拖动图元后可以对之重新进行“快照”。

下图中显示了一条曲线在三个不同位置的照片,每次【快照】后改了颜色及位置。双击绘图区空处或用【擦除痕迹】命令可以擦除。

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踪迹

踪迹是对象运动痕迹,是对图元的连续快照。

图霸中的踪迹可以对任何图元,一个被追踪对象,当它移动时,其后面就会留下踪迹,不论运动是怎样产生的——是拖拽被追踪对象,还是拖拽被追踪对象所依赖的某些对象,还是动画。追踪在探索一个对象的运动成因或在创造有趣的数学艺术等方面可能是很有用的。如图是追踪一个曲线上的点形成的图形:

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要显示踪迹,首先要追踪对象。您可以把追踪想象成用一架固定的相机对舞台上的演员在同一张底片上进行连续拍摄。被追踪对象运动越快,它的踪迹就越稀疏;该对象运动越慢,它的踪迹就越密集。图霸中追踪对象的动画要设置合适的速度。

【追踪对象】这个命令是一个开关命令,如果当前所有选定对象都已被追踪,则该命令为【取消追踪】,如果选定对象都未被追踪,则该命令为【追踪对象】。

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上左图中圆C的圆心可在线段AB上运动,选取圆,点击【追踪对象】按钮,拖动圆心C 则形成踪迹,如中图。若制作点C的动画,则形成均匀的踪迹,如右图。

擦除踪迹:

要从屏幕上移除快照或追踪的踪迹(无论是否消失),请用【擦除痕迹】命令,或直接在屏幕上双击鼠标。

在擦除踪迹与取消对象的追踪之间有一个重要的差别。擦除踪迹从屏幕上移除所有已存在的踪迹,但并不影响对象在将来是否会离开其踪迹。取消一个对象的追踪会防止对象在将来移动时对其追踪,但不会影响已在屏幕上的对象的踪迹。如果您想移除踪迹,而且还想停止该对象的追踪,那么您必须同时使用下面的操作:选定该对象并选择【取消追踪】命令取消对该对象未来的追踪,双击屏幕擦除踪迹。

当不再需要追踪时,可取消所有追踪并擦除踪迹,以提高速度。

追踪的属性:

当屏幕上显示有踪迹时,不选取任何图元,用【对象属性】命令,打开【追踪属性】对话框,如图。

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两种显示方式的区别可比较下面的左右图;改变动画速度可以改变踪迹的密集程度,可比较上下图。

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使用“追踪”、绘制“踪迹”需要占用较多的系统资源,如果您电脑(尤其是显卡)的性能不是很好,可能发现拖动时鼠标有时被“卡”,请修改您电脑的显示属性。

要永久保留踪迹,并且使它是三维图形。请使用“轨迹”或“形迹”。

墨迹

用【常用-画笔】工具或【显示-踪迹墨迹-画笔手绘】工具可以在图形区随手画线。可以在绘制前使用【颜色】命令修改颜色。

双击或用【显示-踪迹墨迹-擦除痕迹】命令即可擦除。

如果要在文档中保存,可以用【显示-踪迹墨迹-保存墨迹】命令。不同颜色的墨迹在保存时分为不同图元,可以拖动改变位置,选择它可以修改颜色。

轨迹

轨迹概述:

轨迹是当一个驱动点沿一个驱动路径在有限范围运动时,一个依赖于该点的被驱动点的集合。这里的驱动点(主动点)是路径上的点,包括直线型对象、圆弧、曲线或点的轨迹自身,被驱动点(从动点)是驱动点的后代。

例如:左图中,点E是线段CD的中点。右图中显示当点C沿线段AB运动时,点E的轨迹。点E的轨迹形成一条更小的线段。它平行于线段AB,且长度为AB的一半。在这个例子中,点E是被驱动点,点C是驱动点,线段AB是驱动路径。

构造轨迹:

要构造一个轨迹,您必须首先构造被驱动点,即您想构造轨迹的点,它依赖于一个驱动点。驱动点必须是路径上的点,即一度自由点。

选定驱动点和被驱动点,用【轨迹曲线】命令或用【构造-曲线曲面-轨迹】命令,即可构造轨迹。

轨迹属性:

几何图霸中的每个轨迹驱动点都是一度自由点,它们都有一个动画参数,该参数值(决定驱动者在驱动路径上的位置)定义在一个特定的范围(参数范围)内,它确定某些因变量的值(即被驱动对象的位置)。每一个函数值就表现为轨迹的一个样本。整个轨迹就是函数值的近似范围。样本的数目取决于参数的范围及精度(参数变化的步长),它们可以在“轨迹属性”中设置,其中参数范围直接决定了驱动者可能的位置,精度决定参数值每次增量。如按下图设置,则轨迹上样本数约为100个。

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在数学上,一个轨迹可以描述被驱动对象的无数个位置。然而,要显示无数个位置等于是要计算机运算无数次。因此几何图霸中只是显示大量(但不是无数个)的可能位置,而不是所有的可能位置,设定适合的精度非常必要。

在绘制时,相邻样本点之间用线段相连,实现以直代曲。当相邻样本点距离太大时图形将间断,默认值为4,可以根据情况修改。

当选取“跟随”时,轨迹的显示会跟随主动点。如果选取“分段着色”,可以运用颜色函数为轨迹线的各部分自定义颜色,确定轨迹的的主动点的值就是参数t,其它度量值和参数若是构造轨迹所必须的(是轨迹的父母),则会在计算器中的【数值】部分显示,可以用于颜色函数中。

轨迹上的点

选取一条轨迹,用【点】工具或用【构造-点-对象上的点-对象上的点】来构造轨迹上的点。轨迹上点的参数t是创建轨迹时的主动点在其路径上的参数。

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上图中点D是圆A上的动点,F是DE上一比例点。点D在圆上运动时,点F的轨迹是小圆。点P是小圆上一点。那么点P的位置由其参数t怎样计算呢?上面已讲了圆上点的参数的意义,当“主动点”D的参数为t时,对应的“从动点”F所到位置的参数就为t。如下图:

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直线上点,圆上点,曲线上点,轨迹上点都是对象上的点,是四种最重要的路径点,是制作动画常用的对象。

形迹

点运动留下轨迹,线、圆、曲线等对象运动也有轨迹,如果连续运动,它们会形成曲面,这在第六章“轨迹曲面”中学习。如果离散采样,这些对象的轨迹称为“形迹”,意为图形的痕迹。

欲构造形迹,必须先选取一个主控对象,它是一个路径点或一个参数。其中路径点的位置或参数值的每一个改变,它的后代图元随之而变化,因此而留下痕迹。

主控对象的参数范围可以用固定值,也可以用选择的两个值(参数,度量值,计算式)表示。若要用两个值控制范围,在构造形迹前必须选取三个对象,一个主动点和两个表示范围的值,或一个主控的参数和两个表示范围的值。

 

例3.8.1:绘制两端在分别在坐标系的两轴上的定长线段的中点的轨迹。

1.【二维】视图,【插入-二维坐标轴】,选取原点O,【构造-心向圆】,【点】工具移到圆上添加圆上的点P。选取点P和x轴,【构造-投影点】C,选取点P和y轴,【构造-投影点】D。连结【线段】CD,选取C、D,添加【中点】M。选取点P,添加【动画】按钮。

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2. 选取点P和点M,【构造-曲线曲面-轨迹】。选取轨迹,【属性】中勾选“跟随”。选取点P、点A和圆,【动画影音】命令添加【显示/隐藏】按钮。点击隐藏这三个对象。点击执行“动画”。

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若添加CD上的动点H,选取它与点P,构造轨迹,你知道轨迹是什么图形?为什么?

例3.8.2:如图,已知点P是圆C外一点,过点P的直线l与圆C交于A、B两点,绘制AB中点M的轨迹。

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1. 【二维】视图,【构造-心向圆】。选取两点A、B,【文本标签】命令打开“点的标签”对话框,选起始标签C,“确定”,批量修改两点的标签为C、D。

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2.【线】工具下拉选【直线】,移到图形区在圆外按下添加点E,再移动到圆上按下添加点F和直线EF,选取点C和直线EF,【构造-点-投影点】G。选取线EF,【显示-显示标签】。

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3. 选取点F和点G,【点】工具添加点F关于点G的对称点F'。【文本标签】命令分别改点与线的标签,如下图。隐藏点D的标签。

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4. 添加点A的【动画】按钮。选取点M,【显示-追踪对象】,点击【动画】按钮,显示点M的踪迹。

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5. 绘图区双击鼠标擦除踪迹,也可以用【显示-擦除痕迹】命令。选取点M,【显示-取消追踪】。再执行按钮,不再追踪了。

6. 选取点A、点M,【构造-曲线曲面-轨迹】。选取轨迹,修改【颜色】。

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7. 由于CM垂直于直线l,所以此轨迹是以PC为直径的圆的一部分。连结CM,CP,【构造】PC中点O,选取O、P,【圆】工具添加平置圆,改颜色,【属性】中改“仅实线”。选取轨迹,【显示-增加+】线宽。拖动点。

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上述画法中的点P用的是“全自由点”有些不妥,应该用点O的“二维随从点”。修改点P坐标的z值为3,【三维】视图下,解除【锁定视角】,拖动旋转视图,观看轨迹不再是圆弧了。这说明研究平面问题时,要防止动点的坐标z值的随意修改。

例3.8.3:绘制椭圆。

法一:

1. 【二维】视图,【新建参数】t1,范围0到2*pi。选取t1,添加【计算】10*cos(t1)和6*sin(t1)。“t1”在计算器的“数值”框中选取。

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2. 选取两上计算式,【点】工具添加点A,选取t1和点A,【构造-轨迹】。拖动t1的滑条,点A在椭圆上运动。选取椭圆,【属性】中勾选“跟随”。再拖动滑条观察轨迹的形成。

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法二:

1. 新建页,【二维】视图,构造【心向圆】A,选取点A,再构造【心向圆】过点B,添加【直线】AB,构造一个圆上的点D,选取点D及另一圆,【构造-点-对象上的点-对象上绘制点】E。两圆同心,D、E两点同参数值,拖动点D。选取点D和线AB,【构造-投影点】F,连结DF,选取它与点E,【构造-投影点】G。

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2. 选取点D和点G,【构造-轨迹】。【删除】线段DF,保留点A、B、C,【隐藏】其它点、线、圆。

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法三:

1. 新建页,【二维】视图,构造【心向圆】A,画【射线】AB,【点】工具添加线上点C和圆上点D,添加【线段】CD,【直线】AD,【构造】CD中点E。选取点E和线段CD,【构造-垂线】EF。选取直线EF和直线AD,【点】工具添加交点G。选取点D、点G,【构造-轨迹】。选取轨迹,修改颜色。由于GC=GD,所以GC+GA=AD为定长,因而轨迹是椭圆。

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2. 拖动点C到圆外,轨迹变为双曲线,试说明原因。隐藏辅助图元,保存为文件。

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例3.8.4:撒豆子试验估算圆周率

1.【二维】视图,【常用-坐标点】命令打开对话框,勾选“创建多个点”,常用点集中选“正方形顶点”,修改坐标如下图,确定。添加四个点A、B、C、D。

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2. 保持点的选择状态,【线】工具添加四边,【面】工具添加面。选取面,【属性】中修改成“半透明材质”,使用纹理:图10。【构造-点-原点】O。选取线段AB,【点】工具添加中点E。选取点O、E,【圆】工具添加平置圆。

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3. 新建2个参数t1,t2,选取t1,添加【动画】,范围从1到1,快速,改名“动画1”。选取t2,添加【动画】,范围从1到1,快速,改名“动画2”。选取t1,添加【计算】:set(1,0)+set(2,0)。使用内置1号变量存放撒的豆子总数,2号变量存放在圆内的豆子的总数。点击“动画1”按钮,t1值快速从1到1,虽未变化,但它的后代会被激活计算,将两个内置变量的值赋为0。选取t2,添加【计算】:rand(12)-6,产生随机数[-6,6],用于豆子对应点的横坐标,仍选取t2,添加【计算】:rand(12)-6,用于纵坐标。虽然表达式相同,但点击“动画2”按钮后,会发现随机产生的值一般是不同的。选取这两个计算式,【点】工具加入含参坐标点F,它会随机地出现在正方形内。

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4. 选取点F,【显示-追踪对象】,选取两点O、F,【度量-两点间距离】OF。选取OF长度值,添加【计算】:if(No1<6,1,0)。当点F在圆内时,|OF|<6,值为1,否则为0。“No1”表示在计算器的“数值”框中点击选取的第一个变量,即|OF|。

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选取"if()"判断式,添加【计算】:accum(1),accum(2,No1)。每次执行时,豆子总数加1,在内置变量中作记录:1号内置变量累加1,2号内置变量累加1(圆内)或0(不在圆内)。中间的逗号用于同一行运算中分隔并列的两个子式。点击按钮动画2,观察值与点的变化。双击鼠标【擦除痕迹】。

5. 选取计算式“accum(1),accum(2,No1)”和参数t2,添加两个【计算】:get(1)和get(2),取出豆子总数及圆内的豆子数。

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选取这两个值,【计算】圆内的频率:No2/No1,它的稳定值即是概率pi/4,选取它,添加【计算】:4*No1,表示圆周率的近似值。

6. 开始时豆子总数为0,频率及圆周率的计算式中的分母为0,式子无意义,显示?号。选取这两个式子,添加两个【显示/隐藏】按钮,一个按钮的【属性】对话框中点选“总是显示对象”,标签“显示”。另一个按钮的【属性】对话框中点选“总是隐藏对象”,标签“隐藏”。依次点击它们测试。【编辑-命令序列】命令打开对话框中,双击“擦除踪迹”,确定。点击“动画2”按钮,追踪点F形成了踪迹,点击“命令序列”按钮会自动擦除踪迹。

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7. 选取“动画1”、“隐藏”、“命令序列”三个按钮,【动画影音】命令添加【系列】按钮,标签“初始化”。选取“显示”、“动画2”两个按钮,【动画影音】命令添加【系列】按钮,对话框中输入固定次数循环:100,标签“撒百豆”。点击它,“动画2”按钮将执行100次,再点一次又执行100次。点击“初始化”按钮,恢复初始总数为0。

8. 选取后用【文本标签】命令修改一些计算式的标签,整理保存。

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例3.8.5:绘制圆柱面与球面的交贯线

1. 【三维】视图,【构造-圆柱】,选取点C、D,【构造-中点】E,拖动B、C。

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2. 选取E、D,【常用-体-球】命令加入球E,修改【颜色】为浅蓝色。选取圆柱侧面,【光照】。隐藏点D、E。拖动B、C。

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3. 【点】工具添加圆A上动点F,选取点F、圆B,【点】命令添加【对象上点】G。拖动F,发现F、G运动方向相反,这是由于两圆的方向不同。选取圆B,【编辑-线面圆反向】。画【直线】FG。选取线FG和球,【点】命令添加直线与球面的交点H、I。

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4. 选取点F、H,【构造-轨迹】,选取点F、I,【构造-轨迹】。选取轨迹,修改【颜色】。点F在圆上运动时,线FG形成柱面,交点H、I的轨迹就是柱面与球面的交贯线。

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5. 选取球,【修改-透明】。拖动B、C,隐藏点线。当球的半径等于圆柱直径时,交贯线就是著名的维维安尼(Viviani)曲线。

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例3.8.6:绘制马鞍面上的直母线。

1.【三维】视图,【常用-坐标点】命令打开对话框,勾选“创建多个点”,常用点集中选“正四面体顶点”,确定。添加四个点A、B、C、D。保持选择状态,【线】工具下拉菜单中点击【向量】工具,添加四条有向线段。也可以用【锥】体工具创建棱锥后删除面。选取AD、CD,【编辑-线面圆反向】,使两条线从A出发,另两条线到C结束。

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2. 【点】工具移动到线BC上点击添加线上动点E,选取点E、线AD,【构造-对象上点-对象上绘制点】F,同样构造线DC上点G、线AB上点H,它们都与点E有相同的点值。连结EF、GH,选取两线,【点】工具添加交点I。修改两线颜色,交点的颜色。拖动点E,观察点线的变化。

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3. 选取点E,【构造-曲线曲面-形迹】,对话框中取消勾选四点E、F、G、H。其它保持原样,确定。

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4. 取消对象列表中页名称前的勾号,隐藏所有对象,再勾选最后的“形迹”,仅显示一个对象。拖动鼠标改变视角,滚动放缩图形。马鞍面上有两族直母线。

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练习:看图绘制平面截圆锥面的截线椭圆。

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