3.9 复合路径

复合路径

线段、圆弧、曲线、轨迹四种单一路径中选取两个或两个以上,构成的路径即是复合路径。若选取的几个简单路径中仅有线段或圆,构成的路径称为组合路径。即复合较复杂,组合较简单。

下图中,线段AB,曲线BDE,弧EF构成复合路径。其中各部分的参数由小到大时对应的点必须依次从A到B,从B到D再到E,从E到F。

 

依次选取这三段,用【构造-点-复合路径上的点】命令,构造出点P。选取点P,度量点的值,并添加点P的动画。

在线段上,参数t(P)从0到1,即[0,1],在曲线上,参数范围是[1,2],在弧上,参数是[2,3]。复合路径由n段构成,参数范围就是[0,n],每段1个单位,并不均匀分布。运行按钮,观察t(P)的变化。

t(P)=1.4时,整数部分表示前面有1段,所以点在第二段曲线上。该曲线是抛物线,方程为x=t,y=t^2-4,z=0,参数t范围[-3,2],区间长为5,t(P)小数部分0.4表示在区间[-3,2]中对应值是-3+5*0.4=-1,代入可得点为(-1,-3,0)。即t(P)的1个单位长对应于曲线方程中参数t的5个单位长,转化方式是线性变换的。

在圆弧上,参数t(P)从2到3变化,由于半圆的圆心角是180度(Pi弧度),所以t(P)=2.5对应的就是弧的中点,t(P)=2.8对应的是弧EP为180*0.8=144度的点。这里要注意圆面的方向,若发现运行方向反了,要对圆进行反向(【编辑-修改】命令组中)。

特别地,若只有几条首尾相连的线段,不必共面。可以选取几个端点,用命令【构造-点-对象上的点-复合路径上的点】加入一个动点P。这点将在闭合的路径上运动。这与选四条线段(可能不闭合)不同。下图是选取四点A、B、C、D,添加的复合路径上的点P。注意:没有线段也可以,更不要选取线段,但点会在四条线上运行。就象行星轨道是椭圆,天空中并没有椭圆一样。

参数t(P)的含义类似于上面的情形。整数部分为所在边的序号,从0-1为第一条边,1-2为第二条边,依此类推;参数的小数部分为此点在边上的位置参数。t=1表示在第一条边的末顶点B,t=3.6,表示在第四条边的中点再靠近点A一些,如上图。这种点运动并不是匀速的,若要匀速运动,可以使用组合路径上的点。

组合路径

下图中,线段AB,弧BD,线段DC,弧CA,其中仅有线段和弧,没有曲线与轨迹,容易计算各段的长度,较简单,故构成的路径称为组合路径。

依次选取这四段,用【构造-点-对象上的点-复合路径上的点】命令,构造出点P。选取点P,度量点的值,并添加点P的动画,参数范围改为[0,1],速度0.02。

运行动画,可见点P是匀速的。参数t(P)表示从A开始运行的距离占四段总长的比。比如t(P)=0.5,表示点P在组合路径的中间处,上图中是点D。t(P)=0.9就是指动点P从A开始运行了总路程的90%。

这种类型不要用到曲线或轨迹中,它们的长度一般是不易求出的。与复合路径区别有二:一是参数范围不同,二是参数值分布是否均匀。

下图中,依次选取线段AB、BC、CD、DA,用【构造-点-复合路径上的点】命令,构造出点P。度量点P的参数值,它是从0到1。点P在四边上运动对于t(P)的变化来说是匀速的,与各边的长度有关。这个点不同于依次选四点构造的点,与复合路径的作比较,根据需要选择。

下图中,选择一参数t,再选择线段、曲线及圆弧,用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】得点P。它是复合路径上的与参数t对应的点。下图中点P在弧的五分之一处。

若选择的仅有线段或弧,得到的就是组合路径上的参数点。

几何图霸

下图,选取空间四边形ABCD各顶点,再选取参数t,用【构造-点-对象上点-对象上绘制点】命令,可添加多边形边界上与t同参数的点P。当然也可以不选参数值而选择一个度量值或另一个路径点。

几何图霸

添加参数t的动画,控制P的运动。这是参数的动画,与复合路径上动点的动画不同。

几何图霸

其它依此类推,不难理解。

例3.9.1:如图, M、N、P分别是正六边形ABCDEF的三边AB、CD、EF的中点,一只黑蚂蚁沿着这个正六边形逆时针方向爬行,另一只红蚂蚁沿着正三角形MNP逆时针爬行,它们同时用同样的速度从点N出发,它们各自爬多少圈后第一次在N点相遇?

几何图霸

分析:容易求得正三边形的边长与正六边形的边长之比为3:2,正三边形的周长与正六边形的周长之比为3:4。因此红蚂蚁爬行4周,黑蚂蚁爬行3周后能第一次在N点相遇。设正三边形的边长为1,红蚂蚁爬行4周总长为12。红蚂蚁爬行t条边,则黑蚂蚁爬行1.5t条边。由于正多边形边长相等,所以用复合路径上的点构造比较方便。

1. 【二维】视图,【插入-多边形-正六边形】ABCDEF,依次选取点E、F、A、B、C、D,【文本标签】命令批量修改点标签,从A开始。多边形内点击,选取面,【删除】。选取线段AB、CD、EF,【点】命令添加三边中点,依次改标签为M、N、P。选取三个中点,【线段】命令连成三边。拖动点D可以改变边长。

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2. 【新建参数】,名称t,范围从0到12。选取t,【计算】:(3*No1+1)/2。选取t和三点N、P、M,【构造-对象上点-对象上绘制点】J,此点是“复合路径上的点”,在三点所确定的三边上运动,参数值以3为周期循环。t值从0到1时在第一条线段NP上,值为3时回到N。值从3到4与0到1相同,在第一条线段NP上,依此类推。t从0到12,点在三边上运动4周。

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3. 选取计算式(3*No1+1)/2和六点C、D、E、F、A、B,【构造-对象上点-对象上绘制点】K。点K在六边形边上运动,参数以6为周期循环。由于两点所在的边的长度不等,t值为1时,点J运动一条边NP,点K应运动1.5条边,所以参数增量应是1.5t,又由于点K不是从C开始运动,而是从N开始,它的参数是0.5,所以点K对应的值是1.5t+0.5,即(3t+1)/2。

4. 选取点J和点K,【光照】,【隐藏标签】,改颜色为红色与黑色。选取参数t,添加【动画】按钮,范围从0到12,速度自定义:0.03。选取参数t,添加两个计算,No1/3和No1/4,表示红蚂蚁与黑蚂蚁爬行的圈数。分别选取,【文本标签】命令改标签,自定义,文本格式,输入“红”,“黑”,再改颜色。

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例3.9.2:某环形跑道的一圈长400米,甲、乙两位同学在跑道上练习跑步,甲的速度为4.5米/秒,乙的速度为5.5米/秒,若甲、乙同向而跑,则经过多少时间甲、乙能相遇?

1. 【插入-多边形-矩形】ABCD,形内点击选取面,【删除】。选取线段BC,【点】工具添加中点E,同法添加DA中点F。选取E、B,【圆】工具添加平置圆,选取圆,【属性】中改类型为“弧”,度数自定义为180,弧的起点为选取的点B。选取F、D,【圆】工具添加平置圆,选取圆,【属性】中改类型为“弧”,度数自定义为180。

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2. 选取线段AB、弧BC、线段CD、弧DA,【构造-点-对象上的点-复合路径上的点】,改标签为甲。选取点甲,【度量-点的值】,改标签为t1。选取t1,【计算】:No1*(5.5/4.5),改标签为t2,因为乙的速度是甲的5.5/4.5倍。选取t2和线段AB、弧BC、线段CD、弧DA,【构造-点-对象上的点-对象上绘制点】,改标签为乙。

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3. 选取点甲,添加【动画】,标签“开始”,范围0到0,速度快速,点击它,甲乙两点快速回到起始位置。再添加点甲的【动画】,范围从0到4.5,慢速。点击它,甲运动4.5圈与乙相遇时停止。选取t1,【计算】:400*No1,周长乘以圈数为路程,改标签为“甲路程”。选取t2,【计算】:400*No1,改标签为“乙路程”。进一步【编辑】,效果如下图。

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例3.9.3:哈密顿周游世界问题

1859年,英国数学家、物理学家威廉·罗恩·哈密顿(William Rowan Hamilton 1805~1865),提出了“周游世界游戏”:用一个正12面体的20个顶点来表示地球上的20个城市,如何才能从某个城市出发,沿着棱经过每个城市恰好一次,最后返回到出发点?

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在数学史上,哈密顿周游世界的游戏和欧拉的七桥问题是两例标志性建筑,播下了图论诞生与发展的种子。

绘图时把12面体投影到球面上,利用组合路径上动点的轨迹演示运动路径。

1. 【三维】视图,【常用-添加-定位图】,选“正十二面体”,参数默认,确定。【Ctrl+F】键,全选所有面,按【Delete】删除。选取一条线,【属性】中改用“全实线”,下方勾选“显示方式用于本页已有线”。对象列表中的页名称前打勾,显示本页所有对象。拖动后随时按【三维】视图工具恢复默认视角。

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2. 按下图选取所有红色的20条线,改图元类型为【向量】,【颜色】为红色。有几条与图中方向不同,选取它们,【编辑-修改-线面圆反向】。试着从点D开始沿红色的向量走完20条线段和20个顶点,最后应该能刚好回到点D。

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3. 【自定义参数】t,范围从0到1。选取参数t,再按绕行顺序选取DS、SH、HB、……、AD,20个红色向量,最后再选取10条蓝色的线段(不分先后)。放大视图,适当转动视角可以方便选取。【构造-对象上点-对象上绘制点】U。【构造-原点】O,作【射线】OU,选取射线,【构造-对象上点-对象上绘制点】,输入值8,与十二面体的半径相同,得点V,点V的属性中改参数表示“定距离”。选取参数t及点V,【构造-轨迹】,选取轨迹,【属性】中改精度为“0.001”(由于12条线对应参数从0到1,所以精度要高些),显示方式为“自动虚实”。

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4. 【隐藏】所有线,点O、U、V。改20个顶点为红色,【光照】,轨迹【颜色】为浅蓝。二十面体被投影到球面上。【新建参数】k,范围从0到2/3,这是因为30条线段中红色的为20条,占三分之二。选取参数k与轨迹,【构造-对象上点-对象上绘制点】W。拖动k,点W在前20条线上运动。

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5. 选取参数k与点W,【构造-轨迹】,【属性】中改参数范围从0到2/3,精度为“0.001”,勾选“跟随”,显示方式为“全实线”。颜色改”黄色“。【添加-定位图】,“球”,半径为8,转动视角,删除3个大圆。选取球,【透明】。拖动参数k。

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6. 选取参数k,【计算】:ceil(No1*30),选取它,再依照路径顺序从点D开始到点A结束,选取20个顶点,为顶点添加【显示-条件显隐】。显示方式为“入场式”。选取k,添加【动画】,从0到2/3,增速0.005。【隐藏】计算式及参数t,【保存】,【编辑-整理】。点击动画按钮,点线依次显示。修改一些对象属性,观察对图形的影响。

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练习:一笔画问题

欧拉七桥问题是18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点? 欧拉于1736年研究并解决了此问题,他把问题归结为“一笔画”问题,证明上述走法是不可能的。

几何图霸

下面的五星图是可以一笔画成的,用图霸试一试。

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你能否把它绘制到球面上?(使用组合路径上的点,线上定距点,轨迹的“跟随”与“分段着色”。)

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