第四章 变换与迭代

变换是按照一定的规则,把一个图形演变到另一个图形的过程。由于图形是由点构成的,所以本质上是点到点的映射。在图霸中,研究的点变换分为平移、旋转、伸缩、反射、仿射和反演。点通过变换,产生子点,再变换产生孙点,子子孙孙无穷匮也。点确定线和面等,它们共同构成几何图形的大家庭。将一组变换规则重复作用于一组对象即成迭代,迭代是复杂的变换,通过迭代又可以产生分形,描述复杂的自然形态,让人欣赏到美妙的图形世界。正是:变换生新点,子孙无穷尽;迭代成分形,世界有大美。

 

4.1 平移变换

【变换】选项卡中的命令分为两个面板,其中第一个【标志】是为第二个的【变换】提供基础数据的。比如平移前要标志“平移向量”,旋转前要标志“旋转轴”与“旋转角”等。进行变换前一般要先标志,再实施。

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平移:对于两个几何图形,如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系,并且第一个图形上任一点为起点,另一个图形上的对应点作终点的向量都彼此相等,那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。 平移前后的两个图形是全等的。

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平移公式:若点P(x,y,x)按向量v(a,b,c)平移后的新点为P'(x',y',z')则

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指定平移向量有三种方式:一是选择两个点,标志的是从第一点到第二点的向量;二是选择一个度量得到的点坐标或计算得到的向量坐标;三是在平移对话框中直接输入一个固定的坐标。

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选取若干个点、线、面、圆、曲线、轨迹等图元后,用【变换-平移】命令添加这些图元平移后的新图元。在对话框中可以选择平移是使用标志的向量还是输入的固定向量。

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平行线上点

利用平移变换可以得到某一方向上的点,但平移后的点是约束点。要绘制某一方向上的动点,可以使用【构造-点-平行线上点】几何图霸中的有关命令。

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如图,依次选取点C、点A、点B,用菜单【构造-点-平行线上点-平行于两点所在直线】,可作出与AB平行的直线上的点P。P的参数表示有向线段CP的数量,即绝对值是线段CP的长度,与AB长度无关;CP与AB方向相同时t为正,相反时为负。

选取点C、线AB,【构造-线-平行线】命令绘制直线CD,点D就是平行于两点A、B所在直线上的动点,与上面选三点绘制出的点是一样的。如果先选A、B,再把C平移到D,这样的直线CD也是平行于AB的,但平移后的点不能拖动。具体使用哪种方式画平行线要根据作图的需要进行选择。

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选取一个点也可以作平行于固定向量的点,参数t的意义同上。特别地,当向量为(1,0,0)时,两点平行于x轴。这时可以直接用【平行于x轴】命令,不必输入向量坐标。过一点分别作平行于坐标轴的点,可用于构建空间坐标系。

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【线】工具可以提高绘制“平行于向量”上点的效率。进入【二维视图】,用【线工具】在绘图区点击添加始点A,移动鼠标时按下【Shift】键,终点处会显示线与x轴正向的角,符合要求时单击鼠标添加线的终点B,此点使AB方向固定,与用【构造-点-平行线上点-平行于向量】命令得到的点是一致的。

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用这种方法可以方便地构造平行于坐标轴的线段。

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例4.1.1:绘制全等三角形

效果:拖动点F在线段DE上移动,可演示两个三角形重合和分开,用来说明全等三角形。

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步骤:

1. 进入【二维】视图,【点】工具添加全自由点A,【点】工具在点A上单击添加二维随从点B,再在点A上单击添加二维随从点C。

2. 分别拖动三点,看一看各点的位置变化有何不同,理解“全自由点”与“随从点”的区别。

3. 选取三点,点击【线】工具,得三边,点击【面】工具,新增并填充一个三角形面。

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4.【线】工具在图形区按下得点D,移动后按下【Shift】键,拖动鼠标右移,出现0度时松开鼠标得一水平线DE。

5.【点】工具在线DE附近移动,线反色时按下鼠标,添加线上的点F,右击鼠标回到“箭头工具”状态。

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6. 选取点D、F,【标志向量】。右击鼠标,在弹出菜单中点击【框选对象】项,框选三角形的顶点、边、面,【变换-平移】,使用默认设置。添加三角形A'B'C'。拖动点F。

例4.1.2:将三棱柱分割为三个等积的三棱锥,说明棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一。

1. 同上例步骤1,添加三个顶点A、B、C,【三维】视图,选取点A,点击【点】工具添加随A的三维自由点,改标签A1。选取A、A1,【标志向量】,选取点B、C,【平移】,改标签B1、C1。选取三点A、B1、C,【线】工具连三边,【面】工具添加面。选取点C1和面,【锥】体工具添加三棱锥C1-AB1C。修改点A1和A的坐标z值,使A1不在面ABC内,图形为立体图。也可以拖动时按住Ctrl键,在【三视图】下调整直观图上的点,使图形居中显示,再切换回直观图。如果你的图形不能自动虚线,旋转时图形乱跑,请按照刚才的步骤反复调整,并在动点的属性中查看点的坐标分析原因。

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2. 【点】工具添加四个全自由点D、E、F、G,选取点B、D,【标志向量】,选取面AB1C及三边(顶点可以不选,由于选了线和面,它的父辈会自动添加),【平移】。

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3. 选取点D、面A'B1'C',【锥】体工具添加三棱锥。选取点D、点E,添加【操作按钮-移动】D→E,选取点D、点B,添加【操作按钮-移动】D→B。

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4. 选取点A1、F,【标志向量】,选取面AB1C1及三边,【平移】。选取点F、新加入的面A'B1'C1',【锥】体工具添加三棱锥F-A'B1'C1'。选取点F、点G,添加【操作按钮-移动】F→G,选取点F、点A1,添加【操作按钮-移动】F→A1。

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5. 选取按钮“D→E”、“F→G”,添加【系列】按钮“分开”,“依序执行”,选取按钮“D→B”、“F→A1”,添加【系列】按钮“拼合”,“依序执行”。隐藏四个移动按钮、点E、G等。【填充】面AB1C1和面A'B1'C1'。执行“拼合”按钮,修改点的标签,移动标签使对应点的标签重合。

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6. 点击“分开”按钮,说明为什么三个棱锥的体积相等。调整点E、G的位置可以改变两个三棱锥移动的目标位置。

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例4.1.3:平移坐标系及其下的函数图象

1. 【二维】视图,页【属性】中改单位长为40。【点】工具添加点A,选取点A,【插入-二维坐标轴】,点A成为原点,标签自动修改为O,且被隐藏。选取该点O,【度量-坐标x】和【坐标y】,选取两个坐标值,【常用-轨迹曲线】命令打开“曲线属性”对话框,示例中选“二次函数”,修改参数方程,在x(t)后加入平移量x(o)(在计算器的数值中选取),在y(t)后加入平移量y(o)。根据平移公式,它会把原来的函数图象平移到新坐标系中。确定。

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2. 拖动原点,轴与图均跟随。拖动轴的四个端点处的隐形点改变轴的长度。

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3. 此二次函数图象顶点为(1,-4),在新系下要加上平移量。选取坐标x(o),【计算】:No1+1,选取坐标y(o),【计算】:No1-4,选取这两个计算式,点击【点】工具,绘制顶点B。选取原点o,【构造-二维随从点】C,它随原点移动而自动移动。选取点B、C,【标志向量】,选取抛物线,【平移】,得到的是一条轨迹。拖动点C观察图象移动。隐藏坐标及计算式。

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练习1:运用平移变换绘制图案(长*宽=27*21,除了第一个自由点外,其余的点均为平移得到):

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练习2:运用平移变换绘制两个平行平面(参考左侧的对象列表,斜二测显示):

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