4.2 旋转变换

在平面内(空间中),让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角,变成另一点P′,如此产生的变换称为平面内(空间中)的旋转变换。此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴),该定角称为旋转角。因此,旋转变换分为平面内的旋转变换与空间的旋转变换,但平面内的旋转也可以看成空间中旋转的特例,旋转轴为过旋转中心的垂直于平面的直线。如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

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在空间中,旋转一般要先标志轴、标志角。

选取一条线(线段、射线、直线、向量),用【标志轴】命令,或直接在线上右击鼠标,菜单中选“标志轴”菜单项,把这条线标志为旋转轴。

选取三点(或一个值),用【标记角度】命令指明由三点形成的角(或值作为角的弧度数)用于旋转角。

这里的轴有方向,角有正负。如下图,从B向A看,正角逆时针旋转;负角顺时针旋转。

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标志角时选的三点也要注意顺序,例如上图中,选择三点C、O、D时标志角,从z轴正向看,射线OC逆时针旋转到射线OD时转过的角为98度,若选择D、O、C三点,标志的角是一个从OD转到OC的角,逆时针时要转动262度,当然也可以理解为转动了一个负98度。空间中的旋转用一个值标志为转角更方便,角的大小可以为一切实数。要改变转动方向,既可以修改轴的方向,也可以改角的正负。

参考下图,右手大拇指指向旋转轴的方向,四指所环绕的是角的正向。

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在平面内,旋转一般要先标志中心、标志角。

选择一点A,标志为中心;再选一点B,用【旋转】命令可让B绕点A旋转。下图中三点可构成等边三角形。

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如果不标志轴或旋转角,也可以在“旋转”对话框中输入固定的轴的点向式方程的系数或角的度数。选“固定轴”时输入的上行三个值是轴的方向向量,下行值是轴上一点的坐标。

平面内点旋转公式:若点P(x,y)绕原点旋转角度θ后的新点为P'(x',y'),则

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三维空间的旋转公式:设v是一个三维空间向量,k是旋转轴的单位向量,则v在右手螺旋定则意义下绕旋转轴k旋转角度θ得到的向量可以由三个不共面的向量v, k和k×v构成的标架表示:

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对此有兴趣的,请网上搜索“罗德里格旋转公式”,不用掌握,图霸会自动帮你完成计算。

圆上旋转点

有时,旋转使用“圆上的点”去驱动更加方便,拖动圆上的点,就产生了绕圆心的转动。另外,还可以用“圆上旋转点”,它的参数比所选点的参数大一个设定的旋转角,使用这种点比【旋转变换】操作方便些。如图,P是圆A上一动点(也可以是另一个圆或曲线上参数点或圆上旋转点等,只要它的值能对应圆上的点),选取点P与圆A,用【构造-点-对象上点-圆上旋转点】,设置旋转角90度,添加点Q,则点P在圆上转动时,点Q始终保持角PAQ=90度。圆内接正多边形可以用此类点构造顶点。当点P不是圆上点时,点Q在圆上的参数总比点P的相应参数大π/2。也可以选取一度量值与一个圆,构造圆上旋转点。

点P在圆上,绘制它的两个“圆上旋转点”,参数用60度和-60度(两数相反数即可,值很小时割线接近切线),过P作这两点连线的平行线就是圆的切线。曲线与轨迹也可以用某点两侧相近点的连线的平行线作为近似切线,只是绘制时的参数与点P的参数要非常接近。

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例4.2.1:将一个任意四边形切两刀分成四块,拼成一个平行四边形。

1. 【二维】视图,使用【常用-工具-自定义-平面几何工具-四边形】工具,移动鼠标到图形区,点击鼠标后添加一个平面四边形ABCD,右击鼠标结束此工具的使用,回到鼠标的“箭头”状态。选取四边,【点】工具添加四边中点E、F、G、H。【线】工具连结EG、FH,选取两线,【点】工具添加交点I。EG、FH把四边形分成四个部分就可以拼成平行四边形。

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2. 选取四点I、F、C、G,【面】工具添加面。连结线AC,【点】工具添加线上动点J,选取点A、J,【标志向量】,选取点E、I、H,【变换-平移】,选取点J、E'、I'、H',【线】工具添加四边,【面】工具添加并填充面。拖动点J,观察平移过程。选取点J,添加【动画】1,增速选自定义,输入0.05。仍然添加该点的【动画】2,反向,增速0.05。点击执行,一个移出,另一个恢复。隐藏四点J、E'、I'、H'。

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3. 选取点F、B,【圆】工具添加圆,【属性】中改为弧,度数从0到180。选取弧,【点】工具添加弧上动点K,选取点B、F、K,【标志角度】。选取点F,【标志中心】。选取点I、E,【变换-旋转】,以F为中心,旋转角BFK,得点I'、E'。选取点F、I'、E'、K,【线】工具添加四边,【面】工具添加并填充面。拖动点K,观察旋转过程。选取点K,添加【动画】3,范围0到pi。仍然添加该点的【动画】4,反向,范围0到pi。点击执行,一个转出,另一个恢复。隐藏三点I'、E'、K。

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4. 【新建参数】t1,勾选“角度值”,0到180。选取t1,【标志角度】。选取点G,【标志中心】。选取点D、H、I,【变换-旋转】,以G为中心,旋转角t1,得点D'、H'、I'。选取点G、D'、H'、I',【线】工具添加四边,【面】工具添加并填充面。拖动t1滑块,观察旋转过程。选取t1,添加【动画】5,范围0到pi。仍然添加该参数的【动画】6,反向,范围0到pi。点击执行,一个转出,另一个恢复。隐藏三点D'、H'、I'。此步中的旋转也可以与第3步中的两点同时进行,用点K控制,这里用参数控制是为了说明可以使用参数值作为标志角。

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5. 选取“动画”1、3、5三个按钮,【动画影音】命令添加【系列按钮】“切拼”,勾选“依序执行”。选取“动画”2、4、6三个按钮,【动画影音】命令添加【系列按钮】“还原”,勾选“依序执行”。点击按钮执行,拖动动点,隐藏整理并保存。

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切拼成平行四边形后,点C处的四个角正好是原四边形的四个内角,其和为360度。

例4.2.2:作一个等边三角形,使其三个顶点分别在已知的三条平行线上。

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分析:

如图,先任作点A在直线l1上,若点B绕点A转60度,会转到点C,点B在l2上,因此l2同样旋转后会经过点C。所以点C是l2转动后与l3的交点,作出点C后,顺时针旋转60度即是点B。

作法:

1. 【常用-线-直线】工具,鼠标在绘制区点击构造点A后右移,按住【Shift】键,当出现0度时点击,构造平行于x轴的直线AB,选取直线,改标签l1,【显示标签】,并拖动标签。同样方法再构造直线l2,l3。

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2. 隐藏点B、D、F。【点】工具构造l1上动点G,右击点G,上下文菜单中选【标志中心】。选取直线l2,【旋转】变换,输入固定角60度,得直线C'D',选取它与l3,【点】工具添加【交点】H。选取点H,【旋转】固定角-60度,得点H'。

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3. 选取三点G、H'、H,【线段】工具连结G、H'、H,【面】工具填充三角形。【批量改点标签】为A、B、C。拖动四个动点。

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例4.2.3:将锐角三角形沿中位线折叠成对棱相等的四面体

本题的学习要点有两个:一是如何得到旋转角,二是如何把三个翻折同步进行。结合制作步骤去领会。

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1. 【二维】视图,【自定义-平面几何工具-三角形】工具添加三角形ABC。作三边【中点】,【向量】工具连结得中位线,注意选点的顺序,用于转动轴时与转动方向有关。选ABC三顶点,【构造-三角形的五心-垂心】G。作三顶点在中位线上的【投影点】H、I、J。由于是锐角三角形,投影点在三条线段上。

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2. 【三维】视图,选取H、A、F,【构造-心向圆】,选取点G,【构造-平行于z轴】上点K,作【直线】GK,选取直线与圆,【点】工具作出交点M、N,【删除】交点N。M点就是三个顶点翻折后的会聚点。理由如下:假设会聚于点O,翻折时点A必在圆上运动,所以点O在圆上,圆面与转轴DF垂直,从而与BC垂直,因此垂心G在圆所在面内,直线OG在圆面内,所以BC垂直于OG,同理AC也垂直于OG。因此OG垂直于面ABC。即O为面ABC的垂线与圆交点,即M点。(当然,M点用A旋转的轨迹圆与B旋转的轨迹圆交点也可以作出)

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3. 隐藏圆,点G、K,直线GK。分别选取三个点,【度量-角】∠AHM、∠BIM、∠CJM,【新建参数】t,从0到1,【计算】∠AHM*t、∠BIM*t、∠CJM*t。添加参数t的动画,从0到1。

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4. 【标志角度】∠AHM*t,点A绕DF【旋转】得点A';【标志角度】∠BIM*t,点B绕ED【旋转】得点B';【标志角度】∠CJM*t,点C绕FE【旋转】得点C'。连结A'D、A'F、B'D、B'E、C'E、C'F,添加面A'DF、B'ED、C'FE、DEF。隐藏点H、I、J及度量值和计算式。

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5. 选取三角形ABC的顶点及边,添加【显示/隐藏】按钮。修改A'、B'、C'的标签为A、B、C,改三条中位线用【线段】显示。拖动t=1。

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一个锐角三角形以其中位线为棱可以折成一个对棱相等的三棱锥,此三棱锥一定可以内嵌于一个长方体中,其体积为长方体体积的三分之一。

设对棱相等的三棱锥有公共棱的两面构成的二面角为α,其中一面上与公共棱所成的两个内角分别为β、γ,可以求得cosα = 1-2cotβcotγ。

练习1:例4.2.3通过“先作交点再度量”得到旋转角的大小,请通过计算直接确定旋转角的大小,重新绘制。

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练习2:制作动画,验证三角形内角和为180度。

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练习3:作等边三角形,使其三个顶点分别在已知的三个同心圆上。

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