4.3 伸缩变换

“伸缩变换”可以将一个或多个图形对象以某个点为中心,按比例作伸缩。“伸缩变换”又称为“缩放变换”或“比例变换”。

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若缩放中心为点O,缩放比为k,点P(x,y,z)缩放后的点为P'(x',y',z'),则有公式:

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对于选取的对象,用【变换-伸缩】命令打开对话框,选择按“固定比”或“标记比”伸缩。固定比是直接输入像与原象的缩放比值,可以用计算式,如2/3,比值大于1时原方向伸长;比值小于0时反方向放缩。标志比有三种方式:

1. 选取两条线段,【变换-标记比】,标记以第一线段长为分子、第二条线段长为分母的一个比。

2. 选取同一直线上的三点,【变换-标记比】,标记以先选的两点的距离作为分母,第一个选的点与第三个选的点之间的距离作为分子。“比的正负”是由先选的两点与第一个点和第三个点的方向决定的,同向的时候为正号,反向的时候为负号。

3. 选取度量值、计算式或一个参数,【变换-标记比】,将它的值标记为一个比。

缩放中心可以选取一个点,【变换-标志中心】或在点上右击,上下文菜单中选取【标志中心】。如果当前页未进行标志,则使用原点为中心,以固定值为比进行伸缩。

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例4.3.1:路径旋缩模型(捆绑旋转)

如图,已知扇形AOB中,OA=10,∠AOB=120°,延长OA到C,使AC=OA,D是弧AB上的动点,连接CD,以CD为边作ΔCDE,使∠CED=90°,tan∠CDE=3/4,D、C、E三点为逆时针顺序,连结OE,则线段OE长的最大值为___________.

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1. 【二维】视图,【点】工具作自由点O,选取点O,按向量(20,0,0)【平移】到点C,选取点O、C,【构造-中点】A。在点O上右击,【标志中心】,选取点A,【旋转】120度到点B,选取点O、A、B,【构造-心点圆】,选取圆,【属性】中改类型为弧,全实线。连结OC、OB,【点】工具添加弧上动点D。

2. 如何画ΔCDE?根据已知条件,易得三边之比为3:4:5,由此可以用反三角函数表示角的大小。下面介绍三种画法:

法一:右击点C,【标志中心】,选取点D,【伸缩】,固定比0.6,得点D'。右击点D,【标志中心】,选取点C,【伸缩】,固定比0.8,得点C'。选取点C、D',【圆】工具画圆C,选取点D、C',【圆】工具画圆D,两圆交于点E、F,删去下方的点F。连结C、D、E,隐藏点C'、D'及两圆。连CDE三边。

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法二:连结CD,选取线段CD,【构造-对象上点-对象上绘制点】,输入值0.36,得点G。选取点G,【标志中心】,选取点D,【旋转】-90度到点D'。选取点D',【伸缩】,固定比0.75,按中心G伸缩到点E。连结CE、DE,隐藏点G、D'及两圆。绘图中输入的两个值是由相似三角形计算而得的,即CG:CD=9:25=0.36,GE:DG=3:4=0.75。

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法三:【计算】:-arcsin(0.6),结果显示为“角度”,选取它,【标志角度】,选取点C,【标志中心】,选取点D,【旋转】到点D',∠ECD是一个定值,约36.87°,由于是顺时针旋转,转动的角度用负数。以C为中心,把点D'按比0.8【伸缩】得点E,连CDE三边。

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3. 选取点C,【标志中心】,选取三点D、C、E,【标志角度】,选取点O和弧AB,【旋转】得点O'和弧A'B'。选取点O'和弧A'B',以点C为中心,伸缩0.6得点O"和弧A"B"。图中虚线不用画出,供理解绘图原理时参考。思考点E为什么在弧A"B"上。

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4. 隐藏点O'、A'、B'和弧A'B',批量修改点O"、A"、B"的标签为F、G、H。连结FH、OF、CF、OD、FE。添加面OCD和FCE,修改线面颜色,如图。根据作图过程易得ΔOCF∽ΔDCE,ΔOCD∽ΔFCE,即“旋转一拖二相似”,又被人形象地称为“手拉手模型”。由于FE:OD=CF:OC=CE:CD=3:5,从而FE=6,所以点E在弧GH上。

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5. 连结OE,度量OE长度。主动点D绕点C旋转定角再缩放定值后,它的轨迹也作出同样的捆绑变化,得到弧GH。圆心旋缩后到点F,OF=16。当O、F、E共线时,OE最大为16+6=22。此时角DOC为90度。选取点D,添加【动画】按钮,参数范围从pi/2到pi/2,标签“最大”。点击它,快速使OFE共线。

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从本例可以看出,主动点绕定点进行旋转和伸缩变换得到从动点,则从动点的轨迹与主动点的轨迹是相似的,线得线,圆得圆。因此,有人把它称为“瓜豆原理”。虽然本题的绘图在第2步后可以选取D、E,【构造-轨迹】,直接得到图形,但是却不容易说明轨迹就是圆弧。通过“旋缩”可以加深对“瓜豆原理”的理解并熟悉图霸中的变换的运用。

例4.3.2:绘制三角形的内接正方形,使其一边落在最长边上。

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由于三点能自由拖动,从而不断改变边长。本题的难点在于如何找出最长的边,并把正方形的两个顶点落在其上。介绍两种画法。

法一:利用伸缩变换。

1. 【二维】视图,【点】工具添加三个全自由点A、B、C,【度量-两点间距离】AC、BC,选取后【计算】:No1>No2,判断是否AC>BC。

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2. 选取计算式|AC|>|BC|,【标志比】,选取点A,【标志中心】,选取点B,【伸缩】变换得点D。当AC>BC为真时,计算式值为1,伸缩比为1,D与B重合;否则伸缩比为0,D与A重合。因此点D总在AC与BC中较大边所对的顶点。同样的方法把点A以B为中心,|AC|>|BC|为比【伸缩】,所得点改标签为Z,它是AC、BC两边中较小边所对的顶点。通过逻辑值作为比进行伸缩,把两个边的对角自动固定为大的D、小的Z。接下来仍用这种方法找出角D与角C中大的一个。这时要【度量】DZ与CZ的长度,并【计算】|DZ|>|CZ|。

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3. 选取计算式|DZ|>|CZ|,【标志比】,选取点D,【标志中心】,选取点C,【伸缩】变换得到的点改标签为X,它就总是最大边所对的顶点。为了方便选取,可以临时隐藏它,再把点D以C为中心,|DZ|>|CZ|为比【伸缩】,所得点改标签为Y,它是DZ、CZ两边中较小边所对的顶点。这样,原来的三个自由点分别与X、Y、Z重合,且X就是最长边所对的顶点,其它两个不用排序。仅显示X、Y、Z三点,隐藏其余对象。连结YZ,选取YZ,【度量】长度,改名a,它是最长边的长。选取点X,线YZ,【度量-点到直线距离】,改名h。选取a、h,【计算】:h/(a+h)。

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4. 连结XY、XZ。假设正方形两顶点D、E分别在这两边上,用相似形有关知识,容易求出内接正方形的边长x,且x:a=h:(a+h),因些XD:XY=XE:XZ=h/(a+h),即点D、E在各自线段上的值。选取线段XY和计算式h/(a+h),【构造-对象上的点-对象上绘制点】D,同样绘制点E。选取点E,作它在YZ上的【投影】点F,选取三点F、E、D,【插入-平行四边形】DEFG。

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5. 选正方形DEFG顶点,【面】工具填充。隐藏三点X、Y、Z,显示原来的点A、B、C,拖动A、B、C,正方形总有一边在三角形的最长边上。回看并体会本题的画图方法。

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法二:利用复合路径。

1. 【二维】视图,【点】工具添加三个全自由点A、B、C,依次选取三点B、C、A,【度量-两点间距离】,改名为a、b、c,分别是A、B、C的对边长。选取三个后,添加【计算】:

if(No1>=No2&&No1>=No3,0,No2>=No3,1,2),意思是当a ≥b且a ≥c时最长边对的是第一个顶点A,用0表示,否则a不是最长边,再判断当a ≥c时,最长边对的是顶点B,用1表示,否则最长边对的一定是C,用2表示。这个计算就可以把最大角顶点用代号表示了。选取这个式子,添加两个【计算】:No1+1和No1+2。分别对应另两个点的代号。比如最大边为2号,那么另两个计算式为3、4,而三点构造复合路径时,参数只有0、1、2三种,其它值会用模3取余数。3、4除以3的余数为0、1,正是另两个点。当然这里的计算也只是找出最大的,对另两个不用排序,如果需要,可以修改计算式。为方便下面的叙述,把三个计算式临时起名f1、f2、f3,不改标签。

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2. 选取三点A、B、C和式子f1,【构造-对象上的点-对象上绘制点】D,同样用式子f2绘制点E,用式子f3绘制点F,它们分别与原来的三点重合,和法一中的X、Y、Z一样。接下来的画法与法一相同。组合路径上的点可以在选取的三点所成的三角形边上运动,对应参数范围是区间[0,3),小数对应在边上,整数对应顶点。不在范围内时,除以3取余数。体会式子f1是如何在三点中找出最大角的顶点的。

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本题仅是学习绘图,所得的正方形并非是最大面积的内接正方形。那么,三角形内部正方形何时面积最大?对于锐角三角形,正方形的一边落在最短边上;直角三角形,两边在直角边上;钝角三角形较复杂。这里不作研究。

例4.3.3:跑道上的异速动点

如图,点M运动的道路由两条直道和半圆组成,AB、CD是正方形的对边。M在圆弧上的速度是直道上的一半。画图演示点M的运动。

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法一:使用“旋缩”变换

1. 【二维】视图,【点】工具添加全自由点A,在点A上点击,构造【二维随从点】B,右击鼠标回到点选状态。把点A绕点B旋转-90度,改标签C,点C按向量BA平移到点D。连结AB、CD。选取B、C,【构造-中点】O,选取O、B,【圆】工具画平置圆O,圆【属性】中改为弧,自定义范围从0到180度。

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2. 【线】工具画水平线FG,点F以点G为中心,按比-pi伸缩到点P,点P按向量FG平移到点Q。FG:GP:PQ=1:pi:1,正好是点M在三段道路上的运动时间比。连结FQ,【构造-对象上的点】T,添加点T的动画。点击执行动画按钮,表示时间的均匀流逝。隐藏线段FQ,选取点T与线段FG,【度量-点的值】,同样度量出点T在线段GP上的值,点T在线段PQ上的值。选取“T在线PQ上”的值,【计算】:Pi*No1,表示半圆上的圆心角0到180度。拖动点T,观察理解点值的含义,不清楚的及时回看“3.2 点的值”

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3. 选取“T在线FG上”的值,【标志比】,选取点A,【标志中心】,选取点B,【伸缩】变换,改B'标签为1。

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4. 选取计算式“pi*T在线GP上的值”,【标志角度】,选取点O,【标志中心】,选取点“1”,【旋转】变换,改为点2。拖动点T,观察点2,它能在两段路径上运动。使用这种“缩放+旋转”变换,可以将点在线与弧上运动接力。

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5. 选取“T在线PQ上”的值,【标志比】,选取点2,【标志中心】,选取点D,【伸缩】变换,改标签为M。拖动点T,观察点M,它能在三段路径上运动。

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6. 隐藏点1、点2、点O,修改三段赛道的颜色为“绿色”。选取点T,添加“动画”,增速为“慢速”,确定后点击它,时间均匀流逝,点M在路径上异速运动。选取点A、B、C、D、F、G、Q,添加【显示/隐藏】按钮“显示控制点”,点击,隐藏这些对象。

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法二:使用组合路径。

1.同法一。

2. 在绘图前先在草稿纸上做一些计算:设AB=2,点在AB上运行的速度为2,则时间为1;弧长为pi,点M在弧上速度为1,时间为pi;CD=2,在CD上时间为1。因此总路程为pi+4,总时间为pi+2。分三段写出行程与时间的函数关系式。【新建参数】t,范围从0到“pi+2”,表示时间。选取t,计算:if(No1<1,2*No1,No1<1+Pi,No1+1,2*No1-Pi)/(Pi+4),它分三段计算出时间t时的路程(前段的路径+本段的速度*本段运动的时间),再把路程除以总长“pi+4”,就得到t时对应的M在组合路径上的点值,(线段与弧是易求长度的路径,组合路径上的点值表示点在当前位置时前面的长度与组合路径总长的比,范围从0到1)。选取线段AB、弧BC、线段CD和计算式,【对象上绘制点】M。添加参数t的【动画】,范围从0到“pi+2”,增速自定义:0.04。

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3. 分别在点的【属性】中改A、B、C、D四点为“隐形”点,改三段路径为统一的颜色,隐藏圆心O。点击执行“动画”,参数t表示时间的均匀流逝。观察点M在路径上异速运动。

练习1:绘制两个位似的四边形。

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练习2:绘制三角形最长的高(拖动三顶点,画出的必须是最短边上的高,不画或不显示其它两条高。当高在形外时,显示底边延长线。)

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