4.4 反射变换

反射变换即对称变换,包括点反射(中心对称)、轴反射(轴对称)和镜面反射(镜面对称)。

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在对点P进行反射变换时可以先标志,也可以在对话框中选择。

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1. 点反射:

先选点,再【变换-标志中心】,也可以直接在点上右击,在上下文菜单中选菜单项【标志中心】。它指明这个点用于反射中心(对称中心)。

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2. 轴反射:

先选线,再【变换-标志轴】,也可以直接在线上右击,在上下文菜单中选菜单项【标志轴】。它指明这条线用于反射轴(对称轴)。

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3. 镜面反射:

先选面,再【变换-标志镜面】,也可以直接在面上右击,在上下文菜单中选菜单项【标志镜面】。它指明这个面用于反射的镜面。

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例4.4.1:如图,点P、Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A、B。使四边形PABQ的周长最小。

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1. 【点】工具添加全自由点O,再在点O上点击两次添加二维随从点M、N,右击鼠标回到箭头工具点选状态。【线】工具连结OM、ON。选取三点,【面】工具添加面。选取面,【点】工具添加面内点P、Q。拖动P、Q,它们总在三角形内移动。

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2. M点的【属性】中改显示方式为“隐形”,不见点但可拖动,同样改点N。隐藏面。选取线OM,【标志轴】,选取点P,关于标志轴【反射】,得反射点P'。选取点Q和线ON,【点】工具添加反射点Q',虽然它也可以使用画点P'的画法,但用【点】工具更方便,其它反射点也是类似的。【常用】选项卡中的前三个命令面板中的工具都是多功能工具,使用它们可以减少操作步骤。连结P'Q',选取它与OM,【点】工具作交点A,同样作它与ON交点B,隐藏线P'Q'。连结PQ、PA、P'A、PP'、QB、Q'B、QQ'、AB,改颜色与显示方式如下图。选取点P'、Q'和四条虚线,添加【显示/隐藏】按钮。

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3. 为何这样作出的四边形周长最小?接着画出线OM上点C,线ON上点D,连结PC、CD、DQ、P'C、DQ',修改颜色,添加它们的【显示/隐藏】按钮。容易由“两点之间线段最短”得出,P'Q'<P'C+CD+DQ'。从而,四边形PABQ周长小于四边形PCDQ周长。

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例4.4.2:绘制空间坐标系的八个卦限。

1. 【构造-点-原点】O,选取点O,状态栏上点击【构造平行于x轴直线上点】工具,构造点X。选取点X、O,【点】工具添加反射点X'(以后直接描述为点关于点反射)。点X绕点O旋转90度得点Y,点Y关于点O反射得点Y'。选取点X、O、Y,【点】工具构造垂线上等距点Z,点Z关于点O反射得点Z'。【线-向量】工具连结X'X、Y'Y、Z'Z。

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2. 隐藏点X'、Y'、Z',选取点X,【属性】中改显示方式为“隐形”,选取点Y、Z、X,【编辑-格式刷】工具改Y、Z的格式与点X相同。选取点O、三线,【光照】,改【颜色】如下图。拖动点X改变轴长,空白处拖动鼠标旋转视图,改变视角。

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3. 【点】工具添加X轴上动点C,添加点C关于点O对称点C'。选取线Y'Y和点C,【构造-对象上绘制点】D,点D关于点O对称点D',按向量OD【平移】两点C、C'到点E、F,选取点E、F,【反射】,选择关于“X轴”,得点E'、F'。【面】工具添加面FF'E'E,改【颜色】,并【透明】。

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4. 选取线Z'Z和点C,【构造-对象上绘制点】G,点C、D、C'、D'按向量OG平移到点K、L、M、N(批量修改点标签),选取点K、L、M、N,【反射】对话框中选“关于XOY面”,反射到点K'、L'、M'、N'。【面】工具添加面NN'L'L、面MM'K'K,改【颜色】,并【透明】,如图。选取三轴及端点X、Y、Z、原点O,添加【显示/隐藏】按钮。

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5. 隐藏坐标面的顶点,轴上的点D、C'、D'、G,隐藏点C标签,选取坐标面,把半透明显示方式改为【填充】。【点】工具添加自由点,改标签Ⅰ(中文输入法的软键盘中选“数字序号”,点击罗马数字),拖动到第一卦限,可以在【属性】中修改坐标为(5,5,5)。选取点Ⅰ和面NN'L'L(YOZ面),【点】工具反射到点Ⅱ,同样把点Ⅰ、点Ⅱ关于面MM'K'K反射到点Ⅳ、Ⅲ。四点【光照】显示。

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6. 【线】工具连结四点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,选取四点四线,【反射】,“关于面XOY”,改点标签为Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。【线】工具再连四条竖线。选择表示八个卦限位置的八个点中的任一个,【属性】中改“被遮住时不可见”,选另七个点,再选刚才修改了的点,【格式刷】工具将最后一个的属性用于前七个点。同样在十二条线之一的【属性】中改显示方式为“仅实线”,【格式刷】工具用于其它十一条线。转动视角,看这些点线被面遮住时是否不可见。转到一个合适的角度时,【编辑-标志起始状态】,【标志目标状态】,添加【视旋转】按钮,时长5秒。点击,自动旋转视图。再添加八点十二线的【显示/隐藏】按钮,标签“隐藏卦限名”。

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7. 点击按钮【隐藏轴】及【隐藏卦限名】。选取三个坐标面及“显示轴”按钮,【复制】。【新建页】,【粘贴】。改面【透明】方式显示。【显示-投影类型-斜投影】。修改三个面的颜色为红、绿、蓝。【颜色-设置透明度】,观看效果。查看“对象列表”,发现虽然在复制时仅选取四个对象,但粘贴后增加了它们的前辈对象。因为没有这些对象,就不会有它们的后代。

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例4.4.3:绘图演示彩虹的成因。

1.用【构造-圆与弧-心向圆】命令,加入圆A,表示小水珠。

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2.添加圆上点D,过点D作平行于X轴的线DE,向量ED表示入射光线。

3.添加圆上点F,表示反射点,连结DF,AF。

4.选取AF,标志为轴。选取ED、FD,作变换——反射,得E'D',D'F,改为射线D'E'。

5.选取点F,度量动画点参数值。

6.选取t(F),添加计算:0.48-t(F)。

7.选取线DF、E'D',D'F及计算式:0.48-t(F),用【常用-修改-颜色-参数颜色】命令设置参数颜色

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拖动点F,可见颜色的变化。

8.选取点F,用【构造-曲线曲面-形迹】命令打开对话框,如图所示设置。

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9.隐藏不必要的图元,适当修改即可。形迹不同于踪迹,形迹是一种图元,可从不同角度观察,不会被“擦除”,不要时可“删除”。

10.选取形迹,在【对象属性】中可以对它的属性再进行修改。

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练习:点P与圆C在直线l同侧,光线从点P出发,经直线l反射后刚好与圆C相切,画出光路图。

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