4.6 反演变换

反演变换的概念:

给定一点O和常数k(k不等于零),对于任意一点A,确定A',使A'为直线OA上一点,并且有向线段OA与OA'满足OA·OA'=k,我们称这种变换是以O为反演中心,以k为反演幂的反演变换,简称反演。称点A'和点A关于O的互为反演点。在某一反演变换中相互对应的两个图形称为互为反演图形或反象。

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当k>0时,有向线段OA与OA'同向,A与A'在反演中心同侧;当k<0时,有向线段OA与OA'反向,A与A'在反演中心异侧。

若关于某一个圆反演,此圆称反演基圆,圆心为反演中心,圆的半径的平方为反演幂。

反演变换的简单性质:

1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆,且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆,其反象为原圆。

2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。(直线→直线)

3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆,而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。(直线→圆)

4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线,而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。(圆→直线)

5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不过反演中心O的圆周。(圆→圆)

由于可以把直线看成圆周,上述性质2—5可以综合为:反演变换把(广义)圆周变成(广义)圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。

画法:

1. 先标志反演中心和反演幂:

选取一个点(如图中的点O),【变换-标志中心】,此点就可以用作反演中心了。选取一个值(参数、度量结果、计算式)(如图中的参数k),【变换-标志反演幂(圆)】,此值就可以用作反演幂。

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2. 选取若干个点、线、圆、曲线、轨迹(如图中的射线AB,点A、点C,【变换-反演】,得到这些图元的反象。其中点A、点C的反象依次为点A',C',射线AB的反象为圆弧。由度量与计算可得,图中OA·OA'=OC·OC'=16=k.

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上面的第一步还可以选取一个圆(如下图的圆O,图中红色),标志为反演基圆。再选取一个圆C,三点A、B、C,线段CB,【变换-反演】,得到这些图元的反象。可以看出,反演基圆上的点A的反象是自身,反演基圆外的点B的反象在圆内,反演基圆内的点C的反象在圆外。

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上图中圆的反象是圆,线段的反象是弧(同色的两个)。不共线的两对反演点B、B'、C、C'共圆(紫色虚线所示)。

我们也可以自己指定反演中心与反演幂,但它们的值是固定的。

例4.6.1:用反演变换的方法来构造斯坦纳(Steiner)圆链

1.依次点击【常用-视图-二维】,在2D状态下绘图。

2.【构造-圆与弧-心向圆】,添加圆A.

3.选取圆A,【插入-圆内接正多边形】,输入6,添加正六边形CDEFGH.

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4.选取点C,【编辑-动画】,勾选“循环”,添加圆上点C的动画按钮.

5.选取线段CD、EF、GH,点击【常用-点】工具,添加三边上中点I、J、K,选取六边形顶点C、中点I,用【圆】工具,添加圆C,同法添加另5个等圆,如上图.

6.选取A、C,【构造-中点】L,选取L、C,【点】工具添加点L关于点C的对称点L',依次选取A、L,用【圆】工具添加圆,选取A、L',用【圆】工具添加圆.

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7.隐藏六边形及其外接圆以及一些点(除点A、B外),选取所有的8个圆及两个点,【编辑】中,添加【显示/隐藏】按钮,点击按钮,测试动画及显隐按钮。

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8.用【Ctrl+Y】键选取可见的8个圆。【变换-反演】,点击“指定反演中心和反演幂”,修改坐标如下图。添加8个反演圆。当然你也可以用新建动点作中心,参数作反演幂。

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9.选取点A、B,再添加【显示/隐藏】按钮。点击第一个显示隐藏按钮,隐藏对象后删除它。显示点A、点B,拖动它控制反演圆的大小与位置。隐藏点,选取圆,【常用-颜色-自动随机色】,修改圆的颜色。

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10.点击动画按钮,观察6个圆的变化。学会迭代后,制作含n个圆的圆链。

练习1:制作函数y=3sin(5x)关于圆的反演图.

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例4.6.2:绘制球面上的五星

如图,设球O与平面α相切于点S,SN为球的直径。点P是平面α内任一点,连接NP,交球面于点P',易得NP·NP'=NS^2。所以P与P'是互为反演点,反演中心为球的极点N,反演半径为球的直径。

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这种变换称为球极变换,它能把平面内的点变换为球面上的点。平面上无穷远点对应于极点N。下面就利用这种变换把平面上的五星反演到球面上。

画法:

1.依次点击【常用-视图-二维】,在2D状态下绘图,【构造-圆与弧-心向圆】A。

2.选取圆A,【插入-圆内接正多边形】,输入5,添加正五边形CDEFG,【线段】工具连成五角星。

3.选取点C,【编辑-动画】,勾选“循环”,添加圆上点C的动画按钮.

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4.进入【3D】视图状态,用【构造-点-原点】,加入点O。选取点O,【构造-点-平行线上点-平行于z轴】上的点H。选取点O、点H,【构造-中点】I。选取点I、点H,【球】体工具加入球I。选取点O、点H,【度量-两点间距离】,选取距离值,【计算】它的平方。

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5.选取点H,【变换-标志中心】,选取计算式HO^2,【变换-标志反演幂(圆)】,选取圆A,五边形及五角星,【变换-反演】,点击使用已经标志的“反演中心和反演幂”,添加反演图形。拖到点A、点B。

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6.隐藏平面图(除点A、B),【Ctrl+Y】,选取反演圆,修改【光照】方式显示,修改【颜色】。

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7. 点A坐标改为(0,0,0),它的z值要保持为0,其它可随意修改。拖动鼠标,转动视图,使球上的五星向前。拖动点B,改变五星大小。点击动画按钮,转动五星。隐藏点A、B。

8. 试一试:球体【透明】,把原象中的线改为射线或直线,观察反象有何变化。不用反演变换,用五点复合路径上动点及线与球面的交点构造轨迹,也可以完成此图制作。你能把平面上的双曲线反演到球面上吗?体验双曲线的两支在“无穷远”处相连。

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例4.6.3:阿波罗尼斯圆问题之点圆圆:如图,经过点E绘制圆,与已知的圆A、圆C都相切。

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思路:利用反演将圆与直线相互转化。若E为反演中心,过点E的圆将反演成直线,如图。将已知两圆反演后得到两个新的圆,要绘制圆与圆相切,转化为绘制直线与圆相切。画图时先画出两圆的公切线,再反演后就是要画的圆。

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画法:

1.选取点E,【圆】工具作平置圆EF。选取圆E,【变换-标志反演幂(圆)】。选取圆A,圆C,【变换-反演】,得到两个反演圆。

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2.选取一个反演圆,【点】工具添加圆上点G,选取点G和此圆,【构造-点-对象上点-圆上旋转点…】,输入180度。添加点H。选取G、H,【构造-中点】I,此为反演圆的圆心。同样添加另一圆上直径的端点J、K及圆心L。

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3.点击【常用-自定义-平面几何工具-两圆公切线】项,依次匹配圆心I、圆上点G、圆心L、圆上点J,绘制出两圆的四条公切线。

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4.隐藏切点及第3步添加的6个点。选取四条切线,【变换-反演】,得到四个反演圆。它们就是过点E且与两已知圆相切的圆。选取它们,修改【颜色】。隐藏反演基圆E及点F,隐藏第1步添加的两个反演圆。

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拖动点,改变点与圆的位置,观看所作圆的个数的变化。仿此例,进一步研究其它类型的阿波罗尼斯圆问题,看哪些可以用“反演”去解决。

 

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