4.7 迭代与迭代象

迭代概述:

迭代就是把一个动作或操作重复一定次数,数学上是指把某些数学结构、计算或其它操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。这些操作必须根据某些输入来定义输出,迭代用每一步的输出作为下一步的输入。

您可以使用迭代创建重复的变换,产生分形对象,或产生其它(几何或数值的)序列和数列。

例4.7.1:数值的迭代

在代数中,迭代是一种用输入值计算输出值的重复计算,它重复地使用从前一个计算中得到的计算结果作为下一个计算的输入值,可以结合函数的迭代去理解:“已知函数f(x), 定义函数y=f(f(f(x)))”。

1. 【新建参数】a,初值为1。选取a,添加【计算】:a+2,如图。类似于 f(x)=x+2。

几何图霸

2. 选取a,【变换-迭代】,原象a映象选取[a】+2,迭代深度改为5,确定,得到迭代表格。

几何图霸 几何图霸

当输入值a变为“加2”的输出值3时,即a=3,“加2”运算的新的输出值就是5,这是第一次迭代。而再把输入值a变为5时,又会产生新的输出7。迭代5次这个操作就会产生输出序列:5,7,9,11,13。

例4.7.2:点的迭代

在几何中,迭代是将一种操作重复应用于一组几何对象后生成新一组对象,原来对象的集合作为输入,新的对象的集合作为输出。

1. 构造线段AB,A点按向量(1,0,0)平移到A'。我们把点A作为输入,那么平移变换的输出就是点A'。

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鼠标拖动点A到点A'处时,点A'必然又向右移到新的位置,这时线段AB也产生了移动。

2. 选取点A,【变换-迭代】,原象A映象选取A',迭代深度改为10,确定,得到迭代图。

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当输入为A',即点A移到A'时,A点的后辈(包含线段AB、点A')必将产生新的移动,即产生新的输出。迭代这个操作就会产生一系列的线段A'B、点A'。

从例中可见,要开始迭代过程,必须有一个初值,这个初值叫原象,如例1中的参数a,例2中的点A。而例中的“加2”或“平移”可看作在序列中从每个值或图形到下一个的映射。这样,我们可以说“11”在操作“加2”下映射到“13”。整个迭代就定义为原象和映射操作。当你应用一次该操作到原象时,结果就是原象按该操作映射的第一个。当你迭代该操作时,就生成第二、第三和第四个象,等等。如例2中的A'就是A的象,所有象与初象有相同的名称和显示属性,因为它们只是把初象显示在不同的位置。

构建迭代:

使用工具按钮或绘图命令构造一个图形。在这个图形中选取一组相互独立的点或值用来生成(通过您所希望的任何数学关系)一组数量相等的依赖对象(点或计算数值)。独立的对象就是迭代的原象,而相应的依赖对象称为迭代的初象。然后用【变换-迭代】几何图霸命令指示原象与初象之间的映射。“迭代”对话框允许您指定您希望迭代结构的次数。结果是原象的各次迭代的象以及依赖于原象的各个对象的集合。

由此,您应理解构建迭代的条件:迭代中的原象只能是点或值,且必须相互独立,即互相之间无上下代关系,类型为值的原象还必须是自独立的,即无父母,只能是参数或独立的计算值。并且在绘图中必须定义计算和几何对象的象,即原象要有同类型后代。相当于函数中的自变量x要有因变量y与之对应。

例4.7.3:多重迭代

1. 构造一个三角形ABC,其顶点为“全自由点”,在其三边上各取一点D、E、F,如图。显然,三线段与三点D、E、F都是A、B或C的后代。在构造迭代前,您想象一下:如果点A、B、C分别移到即映射到其对边上的点D、E、F处,那么它们的后代(三线及三点)会移到何处。

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2. 选取A、B、C三点作为原象,用【变换-迭代】命令,打开“迭代”对话框。在映象中依次选取点D、E、F,前面原象会自动更新。建立映射:A→D,B→E,C→F,其中D、E、F为初象。按“确定”按钮关闭对话框。

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3. 初象点D、E、F,标签自动隐藏。选取点D,它的都同时变色。选取一个迭代的初象,它的第二、第三、……个象也同时选取,删除一个原象将删除整个迭代图。

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4. 三角形DEF把原三角形分为四个小三角形,上图中的迭代总映射到中间小三角形中,是单一的映射。能否在另三个中建立类似的映射呢?这时就要用到多重映射。撤消或删除添加的迭代图。重新选三点打开“迭代”对话框,同第二步操作后再点击“增加映射”按钮,依次再添加三个映射。每个映射都把三角形ABC的顶点映射到小三角形的顶点,这里的三个点可暂不考虑顺序。

映射#1:A→D,B→E,C→F;这个映射大三角形到中间的一个小三角形

映射#2:A→A,B→F,C→E;这个映射大三角形到上边的一个小三角形

映射#3:A→F,B→B,C→D;这个映射大三角形到左边的一个小三角形

映射#4:A→E,B→D,C→C。这个映射大三角形到右边的一个小三角形
最后点“确定”按钮,完成迭代构建。请见下图框中四次映射的象。

几何图霸几何图霸

迭代属性:

在迭代图或迭代数据表上点击鼠标,所有象显示为(粉)红色,表示已选取了该迭代图。用【对象属性】命令或双击对象弹出“迭代属性”对话框。修改后可立即观看效果,初步理解各选项的含义。满意时关闭。

在选取迭代图的同时选取一个数值,再用【对象属性】命令可直接在对话框中将此值设置为迭代的深度,此深度是可以动态变化的。

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1。创建象:迭代属性对话框的“创建”栏中的图元是原象的后代,选取时将为之创建迭代象,否则不创建象。可以为迭代、形迹等复杂的对象创建象。但图霸不为度量坐标创建象,这一栏中不会出现这些类型的对象。上图中未选取D、E、F三点,因而迭代图中无它们的象点(仅有迭代前的六个点)。当对象较多时可以通过下方的“全选”框全选或取消选取。

2。显示数据表:当迭代中有数值象时,如果选取则显示迭代的数据表,否则不显示,不需要显示数据表时还要在创建框中取消所有数值对象。

3。迭代深度:这个数值确定迭代重复多少次。可用的最小值为0,最大值依赖于迭代。要用参数动态控制深度的请在创建迭代前新建参数或计算式,并在打开属性对话框前选取它。对于包括不止一个映射的复杂迭代,其最大值要小些,拖动滑块缓缓的,根据您机器的性能确定最大值。如例3中,一次迭代把一个三角形分为4个,二次迭代分为16个,三次则为4*4*4个。这是一个指数关系,增长很快,因而图霸对可用的最大值进行了适当限制,并在修改时提醒,请修改深度前保存文件以防卡死。

对于不含深度参数的迭代,您可以通过选定一个迭代并按键盘中的“+”或“–”键调整迭代次数而不用访问属性,这较方便,去试一试。

4。显示完整迭代:勾选它将显示迭代的所有的象(各次迭代的象);否则,仅显示末次迭代的象,该次数即所设置的迭代深度。

5。仅显示实线:由于三维图形中有许多图元可表示出特殊的显示方式。如面有填充方式、线有虚线模式、点的显示也有多种。如果图形复杂,全部构造迭代象时,点的标签都显示,屏幕上将分不清重点,这时可以仅显示实线,尤其是用于二维图形,把线显示方式改为仅实线或自动虚实。

6。横向数据简表:迭代的数据表显示的是默认的纵向表,但也可以横向排列。选取迭代图,在其属性中勾选“横向数据简表”,表格中不列出深度n值及初象的值,常用于函数值列表。

图霸界面

默认纵向:

图霸界面

7。颜色:【迭代】可以设置颜色方案。 选择使用原象颜色、不同深度异色或图元自身颜色 。下图迭代中每一个深度一种颜色。

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8。条件迭代:用内置变量的值(逻辑值)去控制迭代是否继续,即条件迭代。不合条件时,即使未达到迭代深度也提前终止迭代。

迭代的条件是一个逻辑值,由用户添加计算,存储在内存变量1-6中,一般要随深度的改变而变化。当它为非0时值为真,迭代未达深度时继续,当它为0时值为假,迭代终止。类似于While循环,先判断后迭代。如果迭代在未达深度时终止,此值必为0。

迭代终点、终值

选择迭代图象及一个点(非原象,可以是初象或其后代),用【变换-终点终值】命令,构造此点在迭代后的终点;选择迭代图象及一个值,用【变换-终点终值】命令,构造此值在迭代后的终值。

下图中的点G是点E迭代的终点,T|CD|是长度CD的终值。箭头从原始象指向终象。

jhtbhelp

终点与终值只可以用于单重映射,一般勿用于多重映射或迭代的迭代。

 

例4.7.4:(条件迭代)求满足条件1+2+3+…+n<2000的最大正整数n。

1. 新建参数k,表示当前的加数,初值为0,新建参数s,表示当前的和值,初值为0。

2. 选取k,计算k+1,加数每次加1,开始时为0+1=1。选取s,计算s+k,这就是累加的总和,开始时为0+0=0。

3. 选取s+k,计算set(1,No1<2000),判断总和是否小于2000,并把结果赋给1号内置变量,开始时0<2000,所以值为1(非0为真)。

迭代前的各值如下图:

4. 选取k和s,【变换-迭代】,如下设置后确定。

第一次迭代时,迭代变量k由0变为1,s由0变为0(看迭代的规则)。此时迭代象k+1=2,s+k=1,表示当前和为1,内置变量值为真;

第二次迭代时,迭代变量k由1变为2,s由0变为1。此时迭代象k+1=3,s+k=3,表示当前和为3,内置变量值为真;

……;

由于迭代深度是100,当第100次迭代时,迭代变量k由99变为100,s由4851变为4950。此时迭代象k+1=101,s+k=5050,表示当前和为5050。内置变量值为假。

这样的固定深度不能在“和”达到2000时终止。

5. 选取迭代,【属性】,“迭代条件变量”里选择“No.1”。由于计算时用的是set(1,No1<2000),若用set(2,No1<2000),则选第2个变量。

确定,最后的迭代情况如图:

可以看到,当迭代深度n为63时,迭代的条件为假(值为0),此时和为2016,因此小于2000的最大n为62。

例4.7.5:三维图形的迭代

1. 构建原象:加入三个坐标点(或全自由点并锁定拖移),坐标为A(-4,-4,-8),B(4,-4,-8),D(-4,4,-8),这是三个固定点,相互独立,无上下级关系。

2. 构建立方体:选取D、A、B,【插入-多边形-平行四边形】,选取四点A、B、C、D,用【面】工具构造“平面”,取消填充。选取A、B、D(注意顺序),构造平面的垂线上的等距点E。选取点E及面ABCD,用【柱】体工具得到一个正方体ABCD-EFGH(不要用【柱】体工具一步画这个正方体,否则三个原象不独立了)。【度量】线段AB的【长度】,改名为“棱长”,【计算】棱长的立方,改名为“体积”。

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3. 构建初象:选取上底四线段,用【点】工具加入四个中点I、J、K、L,选取两点E、G,构造中点M。这时,全部图形皆以A、B、D三点为条件,其余皆是其后代。如上图。

4. 建立映射:选取三点A、B、D,用【变换-迭代】命令,弹出对话框,如图添加二重映射,目的是在正方体肩上放两个小正方体。

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5. 完成迭代:点“确定”按钮,添加“迭代象”,选取所有点,隐藏A、B、D标签。如图。

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6. 修改属性:点击迭代图,选取整个迭代。用【对象属性】工具,打开“迭代属性”对话框。左栏中去掉所有点的前面的勾号,不为点创建象,修改标签、迭代深度后“确定”。如下图。

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7. 修改点线面的属性:在一条线上右击,选用【对象属性】项,在线属性对话框中修改线的显示方式为“仅实线”,并勾选“用于当前页已有线”。隐藏所有点。按【Ctrl+F】键选取所有面,【填充】颜色,选取计算式,【编辑】中增加两者显示精度。结果如下图。

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8. 调整迭代深度:按住迭代表,可以拖动。点击迭代数据表或单击迭代图(不是下面的正方体),选取整个迭代。按“+”、“-”键改变迭代的深度。观察数据表中各项之间的联系。

9. “迭代属性”对话框中,取消“全选”,只选各个面,不显示数据表,确定。再选取下面正方体的一个面,光照处理,选择贴图,并勾选把显示方式用于本页已有面,隐藏线。效果如图。当迭代深度为n时,图中所有立方体的体积是多少?n趋于无穷呢?

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例4.7.6:(迭代的迭代)绘制正n边形螺旋

1. 【点】工具添加自由点A、B,新建参数n,整数,从3到10。选取n,计算:2*Pi/No1,勾选结果显示为角度,它是n边形的中心角,把它标志为旋转角度。点B绕点A旋转2pi/n得点B',连结BB',它是正n边形的一条边。选取n,计算n-1,还需要通过迭代绘制n-1条边。

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2. 选取点B,【迭代】,B映射到B',确定。选取计算式n-1和迭代的边,【属性】中加入了n-1作为迭代深度,改“不同深度异色”,创建BB'的象。修改线段BB'为红色。拖动滑块n,改变迭代深度。隐藏点标签,隐藏点B'。记住画正n边形的这一种方法,思考用迭代还能怎样画?

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3. 隐藏两个计算式,添加线段BB'上点C,新建参数m,整数,从0到100。选取点B,【迭代】,B映射到C,确定,添加正多边形螺旋。选取m及此螺旋(第二个迭代),【属性】中加入了迭代深度m,创建对象中不选点,创建线与迭代的象。此螺旋是正多边形这一个迭代的迭代象。拖动滑块m,改变迭代深度。

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4. 添加点C的动画,从0.05到0.95,慢速,循环。拖动点A、B、C,观察图形变化,修改点C的参数值为-0.1,m=100时,图形迅速放大。思考为什么?点击动画按钮。隐藏点B、C。

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例4.7.7:(迭代终点终值的运用 )绘制函数几何图霸的图象 。

分析: 此函数的表达式是n项的和,可以用迭代来进行计算,然后用迭代的终点或终值取得最后的结果,也可以使用for循环直接求值。

方法一:使用迭代终点。

1. 【二维】视图,【插入-坐标系-二维坐标轴】,拖动各轴两端点处的隐形点改变轴长,双击刻度值处,【属性】中修改类型为“三角函数型”。

2. 添加x轴上动点A,度量A的坐标x(A),改标签为x,新建参数k、s、n,其中k=1、s=0,不显示滑块。n为整数,从1到20。

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3. 选取k,计算k+1。选取k、s、x,计算:No2+cos(No1*No3)/No1,即s+cos(kx)/k,累加求和。

4. 选取x,s+cos(kx)/k,【点】工具绘制坐标点B。

5. 计算n-1。选取k和s,【迭代】,k映射到k+1,s映射到s+cos(kx)/k,确定。选取计算式n-1和迭代,【属性】中加入了迭代深度n-1,改不显示数据表,取消所有创建对象,确定。由于迭代前k=1,s=cos(x),所以再代n-1次即可。隐藏迭代,它只为下一步服务。

6. 对象列表中选取迭代和点B,【变换-终点终值】添加点B的迭代终点C,它是迭代达到深度n-1时点B的位置。选取点A和点C,构造轨迹。轨迹属性中改精度0.002。隐藏点及度量计算式,拖动滑块n。

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方法二:使用迭代终值。

前3步同方法一,第4步同方法一的第5步。

5. 对象列表中选取迭代和计算式s+cos(kx)/k,【变换-终点终值】添加迭代终值T,它是迭代达到深度n-1时s+cos(kx)/k的值。选取x和终值T,【点】工具绘制坐标点B,选取点A和B,构造轨迹。轨迹属性中改精度0.002。隐藏点及度量计算式,拖动滑块n。

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这两种方法大致相同,下面的方法更好更快。

方法三:使用for()计算。

1. 同方法一的第1步。

2. 新建参数n,整数,从1到20。选取n,添加曲线,修改参数方程y(t)=for((set(1,1),set(2,0)),get(1)<=No1,(accum(2,cos(get(1)*t)/get(1)),accum(1)),get(2)),它直接运用循环计算n项的和,不再从迭代中提取值。参数t从-4*pi到4*pi,精度0.02。改n的范围从0到100,拖动滑块n到100。

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当n变大时f(x)图象逐渐趋向于函数几何图霸的图象(下图中桔黄色),n=100时已经看不出区别了。

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例4.7.8:制作如图所示的球垛。

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此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛"。 "三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……(人教A版选择性必修2第26页第12题)。

画法一(迭代嵌套):

1. 【二维】视图,【点】工具添加自由点A,选择点A,构造平行于x轴直线上的点B。选取点A、B,【点】工具作A关于B的对称点C。选取点A、B,【球】体工具添加球A,拖动点B控制球半径。

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2. 【新建参数】K,整数,从0到10。选取点A,【迭代】,点A映射到点C,得到迭代1。选参数k,迭代的【属性】中增加参数k作为迭代深度,并修改仅创建球A的象,确定后隐藏迭代标签,拖动k,控制一行内球的个数。以A为中心,点C【旋转】-120度到点D,它是下一行球心的位置。

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3. 【新建参数】n,整数,从1到10,表示总层数,也是每层的行数,最下层三角形一边上的球数。选择n,【复制】,【粘贴】,修改标签为h,表示当前层,从下到上计数,第一层为最底层,第n层只有一个球。选择h,【计算】:No1%2*0.5+0.1,表示各层球的颜色,“h%2”是计算除以2的余数,h为奇数,余数为1,偶数时为0。这样奇数层颜色值为0.6,浅蓝色,偶数层颜色值为0.1,桔黄色。选择它与球A,【颜色-参数颜色】。拖动h,球颜色变化。选择n、h,计算n-h,表示第h层迭代的行数,向上时层数增加,行数减少。选择k,计算k+1,迭代时计数,想一想数学归纳法中k时成立了,就要证明k+1时也成立,这里是类似的。

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4. 选取点A,参数k,【迭代】,A映射到D,k映射到k+1,添加迭代2。 选取计算式n-h及迭代2,【属性】中将n-h作为迭代2的深度,修改仅创建球A和迭代1的象,不显示数据表。确定后隐藏迭代2标签,拖动k=0(不修改它的值,第一行总是一个球,不用迭代),隐藏参数k及3个计算式。

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5. 点C以点D为中心按比1/3伸缩到点E,选取E、A、D,【构造-垂线上等距点】F(EF=EA),点F以点E为中心按比sqrt(2)(根号2)伸缩到点G。作图原理对照右图中的正四面体加以理解。容易计算出∠DAC=120°,DE:DC=1:3,EG:EA=sqrt(2)。从此处可以看出,要让电脑画图,你先要理解量之间的关系并进行适当的计算。

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6. 选取h,【计算】:h+1,为迭代画h层的上一层做准备。新建参数t,从0到1,控制各层的显示。选取t、n,【计算】:No1*(No2-1),即t(n-1)。选取点A,参数h,【迭代】,A映射到G,h映射到h+1,添加迭代3。 选取计算式t(n-1)及迭代3,【属性】中将t(n-1)作为迭代3的深度,修改仅创建球A和迭代2的象,不显示数据表。确定后隐藏迭代3标签,拖动t从0到1,迭代深度从0到n-1。

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7. 保留参数n和t,隐藏其它参数及计算式。 选取A、B两点,添加【显示/隐藏】按钮,标签“显示控制点”。修改A点坐标(0,12,-8),图形居中。转动视角到适当位置,添加【视变换】按钮。先拖t到0,再拖n,从底层第一个球开始,逐行显示,最后拖t,从下到上,逐层显示。也可以添加系列按钮控制这个动画过程。

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画法二(使用递推逐个迭代):

1. 【新建参数】a,整数,从0到10,表示总层数,最上层为第一层,当前值为0。选择a,【复制】,【粘贴】,修改标签为b,表示当前球所在层中的第几行。再【粘贴】,修改标签为c,表示当前球所在行中的第几个。选取a、b、c,添加【计算】:if(No1==No2&&No2==No3,No1+1,No1)和if(No2==No3,if(No1==No2,1,No2+1),No2),选取b、c,添加【计算】:if(No1==No2,1,No2+1)。

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把这三个计算式改标签为aa、bb、cc,它们分别用于计算当前球的下一个球所在的层数、行数及个数。比如当前球的个数与行数相等,下一个球就要放到下一行。如果当前行数又与层数相等,下一个球就要放到下一层。这样类似于数学归纳法的原理,根据当前球的位置信息得出下一个球的位置信息,从而进行递推。

2. 【点】工具添加自由点A,选择点A,构造平行于x轴直线上的点B。【度量】点A的坐标x(A)、y(A)、z(A),分别改名为x0、y0、z0,表示球垛的起始位置。度量点A、B间距离,改名为R,表示球半径。添加两点的【显示/隐藏】按钮。根据a、b、c及点A坐标、球半径计算当前球的球心坐标:(2*c-b-1)*R+x0、(2*a/3-b)*sqrt(3)*R+y0、-2*sqrt(6)/3*a*R+z0,分别改名为x、y、z。

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参考下图正四面体中有关长度关系进行理解。

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3.选取x、y、z,【点】工具绘制点C(x,y,z),点C按向量AB平移得点D。隐藏点A、B。选取点C、D,【球】体工具添加球,隐藏点C、D。选取参数a,【计算】:a*0.3-0.2,把它设置为球的【参数颜色】。新建参数n,整数,从0到220。

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4.选取参数a、b、c,【迭代】,映射到aa、bb、cc。选取n及迭代,【属性】中将n作为迭代的深度,修改仅创建球的象,不显示数据表。确定后隐藏迭代标签,隐藏球、参数及计算式。添加n的动画按钮,从0到220,速度为“自定义”1。转动视图到恰当的观察位置,添加【视变换】按钮。点击“显示”按钮,显示控制点A、B,修改坐标或拖动改变球的位置及大小。拖动n或点击“动画”按钮,逐个显示球。

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思考:上图中的三角垛共有56个球,它的各层的球数构成二阶等差数列:1、3、6、10、15、21。若此球垛有n层,则共有多少个球?观察下面的“杨辉三角”,你能发现高阶等差数列的求和公式吗?

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画法三(使用通项逐个迭代):

1. 【新建参数】k,整数,从0到60,表示当前显示的球的个数。计算k+1,迭代时用于k的映射象。【新建参数】n,整数,从0到220,表示球的总数,作为迭代的深度。第k个球应在什么位置?设它在a层的b行第c个,如何求出a、b、c?根据n层总个数求和公式Sn=n(n+1)(n+2)/6,由几何图霸可得几何图霸。选取k,计算ceil(cbrt(6*k)),改名为m。则a=m或a=m-1。是哪一种取决于k是否比m-1层能容纳的总数还多。

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2. 计算k-m*(m-1)*(m+1)/6,改名为s,如果s>0,a=m;否则a=m-1。

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3.如果a=m,s为在m层中的第几个,否则修改它在m-1层中的个数。计算: if(s>0,s,s+m*(m-1)/2),改名为t,表示在当前层中第几个。计算if(s>0,m,m-1),改名为a,表示所在的层数。

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4. 第t个球在a层的第几行?根据等差数列前b行的求和公式可得几何图霸,计算ceil((sqrt(8*t+1)-1)/2),改名称为b。

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5. 第t个球在a层b行的第几个?t减去前面的b-1行的总数即得。计算t-b*(b-1)/2,改名为c。

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6. 类似于画法二第2步开始的各步骤。根据a、b、c计算球心坐标,绘制球,构造k到k+1的深度为n的迭代。

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例4.7.9:描点法画函数y=x²的图象。

1. 【二维】视图,新建参数t,整数,选取t,【计算】t+1,改标签为x,选取x,【计算】x,改标签y,新建参数n,整数,从0到9。拖动t的值为-6。

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2. 选取t,【迭代】,t映射到x,选取迭代表与n,【属性】中改标签为“列表”,勾选“横向数据简表”,表中不显示初象的值。添加n的【动画】,从0到9,中速,标签“列表”,点击执行。

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3. 【插入-二维坐标轴】,选取x、y,【点】工具添加坐标点A。解除视锁定,滚动滚轮缩小视图。作点A在两轴上的投影点B、C,连结AB、AC,虚线,灰色。点A绿色,光照。新建参数m,整数,从0到9。

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4. 选取t,【迭代】,t映射到x,选取此迭代与m,【属性】中改标签为“描点”,只创建点与线的象,不显示数据表。选择二维轴部件,修改刻度线间距为1,刻度值间距为2。隐藏点A、B、C,线AB、AC,添加m的【动画】,从0到9,中速,标签“描点”,点击执行。

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5. 新建参数b,从-4.1到4.1。选取b,构造曲线,改参数方程x(t)=t,y(t)=t^2,z(t)=0,范围从-4.1到b,修改颜色。选取曲线和b,【构造-对象上的点-对象上绘制点】D。选取点D,【插入-文本】,打开文本编辑对话框,点插入符号工具,选择“笔”形字符,改字号60,确定,添加附点的文本。选取它,改蓝色,拖动它,使笔尖与点重合。选取参数b,添加【动画】按钮,范围从-4.1到4.1,标签“连线”,点击执行。

几何图霸

6. 添加参数n、m的动画,范围从0到0,快速。添加参数b的动画,从-5到-5(不在曲线的参数范围内,曲线不显示),快速。选取三个新加的动画按钮,添加【系列】按钮,标签“初始化”,同时执行。选取“列表”、“描点”、“连线”三个动画按钮,添加【系列】按钮,标签“画图”,依序执行,动作之间设置暂停1秒。

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7 .向下平移视图,使图象居中,锁定视图。隐藏三个“动画”按钮。执行“初始化”按钮后点击“画图”按钮,分三步画图。

几何图霸

例4.7.10:制作蜂巢网格及放大镜

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1. 新建整数参数m、n、t,从0到20,m表示网格的行数,n表示列数,t用于迭代时当前的格子数,计算m*n-1(迭代深度)和t+1。新建参数k,从1到5,表示放大倍数。计算int(t/n)、t%n,分别为当前行与列(从0开始),选取int(t/n),计算int(t/n)%2,当前行号为奇数时为1,偶数时为0。拖动各参数滑块,理解各计算的含义。

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2. 二维视图,添加自由点A、B,A绕B旋转120度得C,A绕B旋转-120度得D,A按向量DC平移得点E,作AE中点F。点C以F为中心,int(t/n)为比缩放得点G,点E以A为中心,t%n为比缩放得点H,H按向量FG平移得点I,I按向量AF平移得点J,J以I为中心,int(t/n)%2为比缩放得点K,行号为奇数时k与J重合,偶数时与I重合,由于蜂巢的相邻行错开了半格。点B、C按向量AK平移得点L、M,M按向量DB平移得点N。选取K、L、M、N,构造复合路径上点P。

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3. 隐藏点P外其它所有点。添加全自由点Q,Q的二维随从点R,连结QR,改颜色,光照。选取点Q、线QR,【构造-平行线】QS,删除线QS,但留下点S。选SR,画平置圆,改色,填充。度量SP、SR,改标签d、r。选取d、r、k,计算if(d*k<r,k,d<r,r/d,1),标志比,以S为中心放缩点P得点P'。它是点P经放大镜放大后的点。选取P和P',构造轨迹,属性中改参数范围0到3,这是因为主动点P只要在KL、LM、MN三条线段上运动,精度0.1,显示方式“仅实线”,这些设置很影响运算速度的快慢。

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4. 拖动t=0,选取t,【迭代】,t映射到t+1。选取计算式n*m-1和迭代,属性中改只创建轨迹的象,不显示数据表,仅显示实线(它会非常明显地提高速度)。添加点A、B、S的【显示/隐藏】按钮,标签为“显示/隐藏控制点”。修改轨迹颜色,隐藏迭代标签和点P、P'等。改变参数m、n、k,拖动点Q。

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5. 回看每一步,理解作法原理。蜂巢网格还能怎样制作?各自有何特色?轨迹的迭代,计算量大,如果您的电脑很卡,找一找在制作或设置上有何不妥。修改第3步中的计算式if(d*k<r,k,d<r,r/d,1)为if(d<r,2*r^2/(d^2+r^2),1),可以得到不同的放大效果。还可以用公式几何图霸,你想一想,当然还有很多其它的变换方法。每一个课件不仅要会模仿,更要领悟与创新!

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练习1:绘制函数几何图霸的图象。

练习2:描点法画指数函数y=a^x的图象。

练习3:绘制正n边形的对角线。

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练习4:画图说明:1+3+5+…+(2n-1)=n²

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练习5:传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如,他们研究过1,3,6,10,…,由于这些数都能够表示成三角形,他们就将其称为三角形数,类似地,1,4,9,16,…等被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形。试绘制表示三角形数或正方形数的图形。

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练习6:“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等。

下图是一个三角垛。顶层有一个正方体,下面第二层比第一层多两个,第三层比第二层多三个,……。制作此图,从上到下逐层显示。

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修改制作方法,用逐一迭代。如下图所示,显示堆码每个方块的过程。

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图中各堆的方块数为1、4、10、20、35,构成三阶等差数列,和为70。若有n堆,则共有多少个方块?撒星形垛(三阶等差数列)求和公式为1+4+10+……+n(n+1)(n+2)/3!= n(n+1)(n+2)(n+3)/4!我国元代数学家朱世杰就发现了高阶等差数列的求和公式。

 

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