第六章 空间曲面与模型

6.1 参数方程曲面

空间曲面可以用含参数u,v的参数方程来定义。曲面方程可以先在曲面属性对话框右侧的“曲面示例”中的选择,然后到左边参数方程中点击按钮修改。用户可以自由输入,不必局限于几个示例。可以学一学“空间解析几何”,理解参数的含义。

如果要在参数方程中含有控制变量,可以先选取几个参数值、度量值或计算式,然后再用【构造-曲线曲面-曲面-参数方程曲面】命令打开对话框,在修改参数方程或参数u、v时包含此数值作为变量。

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如图设置,将得到一个圆柱侧面的一部分。它的半径为r,高为h,转角为c。拖动滑块,可以看到变量值改变的时候,侧面也动态变化。

下面对部分属性作进一步说明:

显示方式

选取曲面,在属性中可修改显示方式,如下图是用“线框模式”显示,改变参数“精度”,观察变化情况,可以看出曲面是用小平面去近似代替的。

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光照时曲面的正反面可设置不同的颜色。选取它,用【编辑-修改-修改标签】命令,在标签属性对话框中修改标签的颜色,它就用于光照时反面的颜色。修改反面颜色还可以用状态栏上的“标签颜色”工具。

例6.1.1:制作“跳跳床”

1. 添加4个固定【坐标点】A、B、C、D,A坐标(-12,-12,-15),AB长为24,添加正方形面ABCD,四点向上平移25个单位,连结成四根柱子。

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2.【新建参数】t,范围:0到2*pi,添加它的动画。选取参数,【构造】曲面,各项设置如图所示,参数方程z(u,v)=0.025*(sin(No1)+1.8)*(u^2+v^2-288)+10,“确定”。

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3. 执行“动画”,思考曲面为何过四个定点。试试修改曲面显示方式为“标准线框”。

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纹理贴图

为了非常逼真地显示物体,可以在曲面表面贴上图片,如地球仪:

几何图霸 ------------->>几何图霸

图片是二维的,建立如图所示坐标系,长宽s、t分别从0到1。由于曲面上的点都由方程中的参数u、v计算而得,所以只要建立u,v到s,t的线性变换即可知曲面上的点与图片上点的对应方法。自动映射纹理总是把整个图贴到曲面上。自定义时可以重复使用图片或只用它的一部分。比如计算出的(s,t)=(1.5,2.5),则去掉整数部分得(0.5,0.5),它表示把图片的中央与该点对应。详细情况请到网上查询有关纹理贴图相关知识。

有的曲面是封闭的,双面可以用相同的纹理图片;否则可以用不同的。程序中自带多张贴图。如果你要使用自已的图片,请使用【编辑-修改-更换贴图】命令。先选取要置换哪一张图片(1-3),再浏览你电脑中的图片。由于使用自定义图片,会使课件变大。所以建议使用小图(如256*256,太小又会不清晰。建议图片的长与宽修改为2的n次方,n为7、8或9)或恢复黙认图。如果你更换了他人的自定义图片,将不能再恢复,请仔细。更多的图片可到网上搜寻“纹理”、“材质”、“贴图”。

如果使用【透明】,一般还要修改图元的颜色,特别是进行【颜色-透明度】设置。

 

条件裁剪

如果要切除掉曲面上一个或是更复杂的几个部分,可以使用【条件裁剪】,把满足表达式的部分切除。

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在曲面属性对话框中,勾选“条件裁剪”,输入裁剪条件:x^2+z^2<4(它表示平放的一个圆柱内部)。确定后,圆锥面上被挖了两个洞。

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裁剪条件是一个五元表达式,u、v的含义同曲面方程中的参数u、v,x、y、z就是点的坐标。如果你还需要外部参数,可以使用内存变量操作。表达式(不一定要不等号)的值为非0时为真,满足条件的顶点会被切除。 曲面由小平面以直代曲,小平面由三角形或四边形构成。它的顶点被裁掉,这一小块就没有了。所以精度高,裁切的就精细,否则边界不光滑。 但是使用高精度又会增加运算,要在质量与速度方面去取舍。点选曲面可以网格化显示当前的精细程序。

分片着色

曲线及轨迹中有“分段着色”,参数曲面中有“分片着色”。在颜色设置中勾选自定义,输入表示色调的函数。颜色值的范围是[0,1]。饱和度和亮度自己调节。白色最亮,黑色最暗。 勾选“炫彩”时的着色由程序自动计算。

例6.1.2:制作颜色盘

【构造-曲面】,对话框示例中选“圆面”,按下图改参数范围及精度。点选“自定义(分片着色)”,修改色调函数为“u/(2*pi)”,u表示的是圆周角[0,2*pi],除以2*pi得到的正是[0,1]。如下图。确定。

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利用自定义着色函数可以制作漂亮的图案。但着色于顶点,当精度不高时较粗糙。点选曲面,可以看到网格化的曲面精细程序,修改步长,调整着色函数。该函数有五个变量,如果你还需要外部参数,可以使用读取函数get()等。

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曲面裁剪

使用平面裁剪曲面,可以使平面一侧的曲面显示,另一侧不显示。裁剪功能不仅用于参数方程曲面,还可以用于其它曲面。在【构造-旋转体】中添加的四种曲面:柱锥台球,在【构造-曲面】中添加的四种曲面:方程曲面,直纹曲面,旋转曲面,轨迹曲面。这8种曲面可以添加【裁剪面】,不显示其在平面的正向一侧的部分,这部分存在但不可见。

选择一个曲面,再选择若干个平面(最多6个),用【编辑-修改-曲面裁剪】命令为曲面添加裁剪面。成功后弹出提示信息,如图。根据平面的编号到对象列表中可以查看哪些面去裁剪该曲面。

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圆锥被棱台的这四个面裁剪,如图。拖动点,移动曲面或平面,动态观察裁剪情况。 把一个面反向,观察效果。

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只选曲面不选择平面,用【曲面裁剪】命令也会弹出当前裁剪面的信息。如果裁剪面已经存在,用此命令,该平面会被移除出裁剪面的集合。删除平面,裁剪面自动移除,但不会删除曲面。它并不是曲面的父对象。如果已经有6个裁剪面,再添加新的,会把最后的替换掉。

 

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