6.2 直纹曲面

一般来说,曲面和曲线的定义有两种,一种是用运动学的观点来描述的;一种是用参数坐标的观点来描述的。 运动学的观点认为,曲线是由动点的轨迹形成的,曲面则是由动曲线的轨迹形成的。 这种方法比较直观,但是无法概括所有的曲线或者曲面。 参数坐标观点则认为,曲线或者曲面是一组参数表达的坐标点集合形成的。这种描述较前者深刻得多,也便于数学公式分析。运动学描述的曲面都可以用参数坐标来表示。但是有许多曲线曲面的方程并不好懂,图霸增加了运动学描述的三种曲面:直纹面、旋转面、轨迹面,方便更多老师使用。

由直线运动所产生的曲面叫直纹曲面,动直线称为直母线(简称母线)。柱面和锥面都是直纹面,单叶双曲面和双曲抛物面也都是直纹面。

母线的两端在两个线状对象上运动,这两个线状对象就是边界(上图蓝色的线)。它们可以是圆弧、曲线、轨迹或多条线段构成的,图霸还允许其中之一是一个或多个点形成的点集。这样,可以把柱面与锥面用直纹面实现。

构造时先选择两个轨迹、曲线、或圆弧,或选择一个轨迹、曲线、圆弧,另一组线段或点,还可以仅选择两条(含两条)以上的线段。用【构造-曲面-直纹面】命令,或直接就用【曲面】命令,添加直纹面。如果要控制直纹面显示的范围,可以同时选择两个参数(度量值或计算式)。当添加直纹面后再要选择参数时,这两个参数必须是先于直纹面构建的。选取它们及直纹面用【属性】命令自动添加,并打开属性对话框。

下面看几个例子:

(1)“点——曲线”型:选取点P、圆C、参数t1、t2,添加【直纹面】,得到的是一个圆锥侧面。两个参数在[0,1]之间,控制显示的百分比。t1=0即从圆的开始处显示,t2=0.83表示显示到83%处结束。拖动滑块可以演示侧面的形成。

选择一圆四点形成右图,【属性】中改为线框模式可以看到多条母线。

(2)“线——线”型:添加一个正方体,选择线段AB、D1A1,添加【直纹面】,选取后属性中改为线框模式,再选择BC、C1D1添加【直纹面】,选取后属性中选择使用纹理,双面不同纹理。得到的是双曲抛物面,如下图:

在选择两条以上线段时,注意每组线段的端点处首尾相接,两组线方向一致。如下图,分别选择线段AB、BC;A1B1、B1C1(注意线段也是有方向的,这里起点在前),添加【直纹面】,属性中勾选“首尾闭合”后如右图。若用直纹面构造圆柱侧面,勾选“首尾闭合”可以使图形在接头处更光滑无缝隙。

(3)“线段——曲线(弧)”型:添加正弦曲线和一线段(从左向右),选取它们,添加【直纹面】,打开属性对话框,在显示方式中选择“填充图案”-“左斜线”。

如图,绘制两个半圆,得交点F,画心点圆,改属性为弧,连FO,选取弧FO,线段FO,添加【直纹面】,打开属性对话框,显示方式中选择“填充图案”-“小圆圈”。类似地添加三段弧和线段BF,注意弧的方向与线段的方向一致。添加另两个阴影部分,如下图。直纹面可以用于平面几何中填充阴影部分。

(4)其它曲线与轨迹的组合类型不再列举。当要使用复合路径时,可以先构造路径上动点的轨迹,然后再添加直纹面。选择不同的属性,观看图形的变化。下图是透明方式显示的由点和轨迹间构成的直纹面:

 

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