6.4 轨迹曲面

主动点在路径上运动,它的从动点形成的图形就是大家熟悉的轨迹。那么主动点的后代如果是线段或曲线时,这些曲线运动就构成空间的曲面,我们把它称为轨迹曲面,简称轨迹面。

例如,过平置圆上的一个动点画垂直圆面的线段(平行于z轴),点在圆上运动,线的轨迹就是圆柱侧面。也就是说,圆柱侧面既可以用几何法构造,也可以用方程曲面、直纹面、旋转面或轨迹面构造。

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选择主动点(或参数)及它的后代曲线(可以是线段、圆或弧、轨迹、参数曲线)两个图元,用【构造-曲面-轨迹曲面】命令,添加轨迹面。另外还可以在构造前选择两个参数动态控制主动点范围。在此范围内曲面还可以在属性中设置“随点”而动。双击曲面,打开“属性”对话框:

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主动点参数范围是指点在其路径上的值的范围,决定了轨迹面最大的尺度,比如上面圆柱面中,点C是圆上的点,范围从0到2*pi。如果你输入0到5,这样显示的就是部分圆柱面。

使用2个参数表示的范围是其子集,上图中显示的就是。参数值不要超过主范围。

“跟随”时显示的是从起始处到当前主动点位置的范围。三个范围是从大到小的关系。

当主动点在其路径(称为准线)上运动时,形成曲面的母线(线段、圆弧、轨迹、方程曲线)上点列数(曲线由点构成,点的个数即点列数,又名采样数)不要随之改变。如果它是参数方程表示的曲线,曲线的步长和范围不要随主动点的位置而变化。否则不能构建轨迹面。

“精度”较高(步长小),曲面上的面片就多(往往与平方成正比),曲面显示的更精细,但电脑性能不好的会卡,请根据轨迹的复杂程度去权衡。

例6.4.1:制作“蛇形管” ,效果如下图:

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1.【常用-轨迹曲线】,输入参数方程,如下图,添加正弦型曲线y=5*sin(0.4*t),作为轨迹面的准线。

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2. 选取曲线,用【点工具】添加曲线上点A;选取点A,【度量-点的值】;选取值,【计算】:2*cos(0.4*t(A)),它是函数在该点处的导数,等于此处切线斜率。

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3. 【构造-原点】O,选取上步中的计算式,【构造-坐标点】K(1,k,0):横坐标1,纵坐标在“绘制坐标点”的对话框中的下拉列表中找到刚才选择的计算值,即斜率k,竖坐标0.

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4. 依次选择点O,K,【变换-标志向量】,选择点A,【变换-平移】,得点T,AT就是切线,它平行于OK。由斜率公式可知,OK的斜率为k(选择的计算式)。AT代表了当前A处曲线前进的方向。

如果对求导不理解或不方便求导,第3,4两步有近似做法:选择t(A),计算t(A)+0.01(生成曲面后主动点范围上要少0.01)。选取这个计算和曲线,【构造-对象上的点-对象上绘制点】T。AT是近似的切线(离的很近,列表中查找)。这种方法可用于绘制更多曲线或轨迹的切线。

5. 选择点A,【变换-平移】,固定向量(0,0,-1),得点H。这个向量(0,0,-1)与切向量(1,k,0)垂直,用其它也可以,决定了圆的起始位置及大小。选取点A、H、T,【构造-圆与弧-心向圆】,得到圆A。它作为轨迹面的母线。如上图。拖动点A,观察圆的运动。

6. 选择点A,圆A,【构造-曲面-轨迹曲面】。选择圆A,反向,改颜色,如下图中的曲面就是圆的轨迹。

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7. 选择圆,改为“弧”,下面范围用自定义“-160,160” ,这样圆上方留有40度的一个缺口。确定后可见管子也“炸裂”了,能看到内部颜色。

8. 双击曲面,点选“跟随”,确定 。保留点A及曲面,隐藏其它。改曲面颜色,拖动点A。曲管随点伸缩。如图。

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