8.11 丹迪林双球

绘制效果:

学习要点:

内心、旁心、圆锥、球、轨迹的构造,光照与透明效果的使用。

操作步骤:

0.

平面与圆锥面的截线为什么可以是椭圆?丹迪林(dandelin)使用双球模型展示了一个巧妙的证明方法。

丹迪林(Dandelin)定理:两个不相切的球与一个圆锥面都相切,若一个平面在圆锥内部与两个球都相切,那么平面与圆锥面的交线是以切点F1和F2为焦点的椭圆,截面圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比。

1.

【三维】视图,【点】工具添加全自由点A,选取点A,构造【平行于z轴直线上点】B,拖动点B到点A下方,选取点B,构造【平行于x轴直线上点】C,作点C关于点B反射点C',连结AB、AC、AC'。【点】工具构造线AC上点D、线AC'上点E,作直线DE,【点】工具画线DE上点F、点G。选取点E、A、D,【构造-三角形内心】H、【三角形旁心】I。选取点H、I和线EF,作【投影点】J、K,同样再作点H、I在线AC上的投影点L、M,点L、M在线AB上的投影点N、O。

2.

选取H、J,画【球】体H,选取I、K,画【球】体I,修改球的颜色。选取A、B、C,【锥】体工具画圆锥。选取N、L,【圆】工具画平置圆,选取O、M,【圆】工具画圆。球与圆锥切于圆。

3.

选取圆锥,【透明】显示,选取两圆,【光照】显示。隐藏线AB、AC、AC'、点C'、H、I、L、M、N、O。选取点F,构造【平行于y轴直线上点】P,画点P关于点F反射点P',把点P、P'按向量FG平移到点Q、Q',【面】工具添加面PQQ'P',修改颜色,【透明】显示。【点】工具画底面圆B上的动点R,连结AR,选取线AR与面PQQ'P',【点】工具作出交点S,选取点R、S,【构造-轨迹】,它就是平面截锥面的截线椭圆。选取点A、B、C、F、G、P,添加【显示/隐藏】按钮。隐藏线FG。

4.

隐藏点P'、Q、Q'、R、S、线AR,隐藏点A、B、C、D、E、F、G、P的标签。选取椭圆,【点】工具添加椭圆上动点T,画射线AT、线段TJ、TK,AT与圆N、圆O的交点U、V(这儿线与一个圆只有一个交点,新加的另两个无效的交点可以删除)。连结TU、TV。由切线长定理可知TU=TJ,TV=TK,所以TJ+TK=UV为定长,即T的轨迹确是椭圆。

5.

修改点K、J的标签为F1、F2,光照显示,它们是椭圆的焦点。修改点T标签为P。度量PF1、PF2,计算PF1+PF2。连结PU、PV,添加有关控制点的显示隐藏按钮及点P的动画按钮,隐藏辅助的点线或标签,光照显示点P、U、V,线TU、TV、PF1、PF2,修改颜色,设置显示的点都为“被遮住时不可见”,椭圆为“仅实线”显示,底面圆为”圆面“且”透明“显示。

用【Ctrl+P】键,【选择所有可见点】,右击鼠标,在快捷菜单中选【隐藏标签】命令隐藏点的标签。

6.

更多的内容可以参考笔者的博客

练习:制作平面与圆柱面相截的双球模型。

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