8.13 圆柱、圆锥、圆台侧面统一展开图

绘制效果:

学习要点:

通过圆柱、圆锥、圆台侧面展开图参数方程的推导,进一步理解空间曲面参数方程的含义。学会制作参数方程的曲面。

推导方程:

曲面的参数方程是把曲面上的任一点S的坐标写成x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)的函数形式,u、v是两个参数。根据参数方程,可以绘制圆柱、圆锥、圆台侧面统一展开图。

A. 圆柱侧面展开图的参数方程的推导

设圆柱底面半径为R,高为h.参数t控制当前展开点T的位置,曲面以t为分界值分为两个部分:当曲面方程中参数u≤t时,处于未展开部分;当u>t时,处于展开的部分.
先求第一部分u≤t时的方程.

再求第二部分u>t时的方程.

B. 圆台(圆锥)侧面展开图的参数方程的推导

设圆台下底面半径为R,上底面半径为r(r=0时为圆锥),高为h.设圆台的母线长为l,圆台对应的圆锥的高为OV=H,母线长VP=L.生成圆台的参数t控制当前展开点T的位置,曲面以t为分界值分为两个部分,未展开部分及展开部分.
先求第一部分u≤t时的方程.

再求第二部分u>t时的方程.

参数方程为:

C. 统一的圆柱、圆锥、圆台侧面展开图曲面方程

把前面推导的曲面参数方程用if()写成一个统一的形式.

操作步骤:

1.

用【点工具】,添加“全自由点”,修改标签为“O”,作为下底面圆心;选定点O,【构造-平行线上点-平行于x轴】上的点,标签改为“A”; 同样【构造-平行线上点-平行于z轴】上的点,标签改为“O'”, 作为上底面圆心。

2.

选定点O、点A,【变换-标志向量】;选定点O', 【变换-平移】,得点A',改标签为“B”;连接得【线段】O' B;用【点工具】,在线段O'B上点击,构造线段上的点A1.

3.

选定点O、点A,用【圆工具】构造平置圆;选定点O'、点A1,用【圆工具】构造平置圆.

4.

选定点O、点A,【度量-两点间距离】,改标签为“R”; 选定点O'、点A1,【度量-两点间距离】,改标签为“r”; 选定点O、点O',【度量-两点间距离】,改标签为“h”;【新建参数】,名称“t”,范围[0,2*pi];选定点O,【度量-坐标-坐标x】、【坐标y】、【坐标z】,改名称为x0、y0、z0.

5.

6.

依次选定值R、H、L、s、l、k、t、x0、y0、z0,【构造-曲面-参数方程曲面】,打开“曲面属性”对话框。

点击按钮x(u,v),输入(可以复制下面的文本,粘贴到编辑框中):

if(No4,(No3-v)*if(u<No7,No6*cos(u),No6*cos(No7)*cos(No6*(u-No7))-sin(No7)*sin(No6*(u-No7))),No1*if(u<No7,cos(u),cos(No7)-(u-No7)*sin(No7)))+No8

点击按钮y(u,v),输入:

if(No4,(No3-v)*if(u<No7,No6*sin(u),No6*sin(No7)*cos(No6*(u-No7))+cos(No7)*sin(No6*(u-No7))),No1*if(u<No7,sin(u),sin(No7)+(u-No7)*cos(No7)))+No9

点击按钮z(u,v),输入:

if(No4,No2*(1-(1-v/No3)*if(u<No7,1,cos(No6*(u-No7)))),v)+No10

参考图片,修改“范围”、“光照”等其它参数,确定; 隐藏点B、线段O'B等.

7.

在页面的空白处右击,弹出的菜单中选【属性】,更改“主视图投影线方向”,如图.点击【常用-三维视图】。

8.

选中曲面,用状态栏中【标签颜色】工具修改曲面背面颜色;添加一些线段;修改圆【属性】为“圆面”,改【颜色】并【光照】;隐藏不必要的度量值与计算式;拖动图中的动点,改变图形位置、大小、类型。添加点A1的动画按钮“圆柱”、“圆锥”、“圆台”,参数t的动画按钮“动画”,展开或合拢侧面。

 

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