8.19 牟合方盖

绘制效果:

几何图霸

学习要点:

学习轨迹与形迹、直纹曲面、圆柱面与曲面裁剪、参数方程曲面与条件裁剪

操作步骤

0.

我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法。“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体。

为何叫“牟合方盖”?这是由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞。

 

画法一

1.

三维视图,【柱】体工具添加正方体AC1。构造AB1中点E,CD1中点F,AC中点G,A1C1中点H,BB1中点I。连结GH,选取点E、I、F,构造心向圆。添加圆上动点J,按向量EF平移J得点J',连结JJ'。点J在圆上运动一周,线JJ'能形成圆柱面,但不用画出它。

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2.

全选面,删除。【面】工具绘制面ACC1A1和面BB1D1D,【点】工具构造线JJ'与面ACC1A1的交点K,与面BB1D1D的交点L。点L关于线GH反射得点L'。

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3.

隐藏面、线JJ'、GH等。选取点J和点K,构造轨迹1,选取点J和点L,构造轨迹2,它们是把圆拉伸到正方体的对角面上的两椭圆,改颜色为桔黄色。插入平行四边形LKL'M。拖动点J,四边形成曲面就是牟合方盖。

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4.

选取点A、B、D与正方体的所有棱,添加显示隐藏按钮,隐藏其它顶点、线段及圆。选取两轨迹,【构造-直纹曲面】,正反面颜色相同,首尾闭合。选取点J和点L',构造轨迹3。

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5.

选取轨迹2与轨迹3,【构造-直纹曲面】,正反面颜色相同,首尾闭合,修改颜色为紫色。选取点J,【构造-形迹】,对象中仅勾选正方形的四边LK、KL'、L'M、ML,主动点的参数范围为-pi/2到pi/2,精度pi/10,使用形迹自身颜色,并改颜色为黄色。隐藏点及轨迹。

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构造两个直纹面的三条母线除了用轨迹构造外,用参数方程的曲线更方便。三个曲线方程为:x=rcost,y=rcost,z=rsint;x=rcost,y=-rcost,z=rsint;x=-rcost,y=-rcost,z=rsint,t从0到2pi。

牟合方盖除了用直纹面外,也可以用点J运动时四边形形成的轨迹面构造,或者直接用参数方程的曲面构造。

画法二

1.

新建页,插入正方体及内切圆柱,删除面和圆,圆柱光照处理。

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2.

 

添加面CAA1C1和DBB1D1,选取圆柱和两面,【编辑-修改-曲面裁剪】,面正向一侧的柱面部分被切除,得到牟合方盖的四分之一的部分。

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3.

添加同样的圆柱,另加两个面与上述两面的方向相反,选取圆柱和新的两面,【曲面裁剪】,得到牟合方盖的另四分之一的部分。

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4.

 

添加轴向与x轴平行的两个圆柱面,分别用已有的面进行【曲面裁剪】,注意面的选取,面正向部分会被裁切。修改颜色。

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5.

 

隐藏线框及面,三视图显示。

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画法三

1.

 

构造曲面,使用柱坐标系,方程为:ρ=5,θ=u,z=v。u从0到2*pi,步长0.01。v从-5到5,步长0.01。条件裁剪:abs(x)<abs(z)。

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2.

构造曲面,使用空间直角坐标系,方程为:x=v,y=5*cos(u),z=5*sin(u)。u从0到2*pi,步长0.01。v从-5到5,步长0.01。条件裁剪:abs(x)>abs(z)。

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画法四

 

 

新建参数R,0到8,参数c,角度,0到180。计算pi*R,改名a,计算a/c,改名r。选取r、a,构造曲面1,方程为:x=r*sin(u/r),y=v*a/Pi*sin(abs(u)*Pi/a),z=r*(1-cos(u/r))。u从-a到a,步长0.2。v从1到-1,步长0.2;构造曲面2,方程为:x=v*a/Pi*sin(abs(u)*Pi/a),y=r*sin(u/r),z=r*(1-cos(abs(u)/r))。u从-a到a,步长0.2。v从-1到1,步长0.2。修改曲面的正反面颜色。添加c的动画按钮,范围从0.001到pi。拖动参数滑块c或执行动画按钮,折展牟合方盖表面。

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练习:三个直径相等的圆柱两两垂直,回转轴相交于一点。画出这个三圆柱内的共同部分。

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