在《几何图霸》中用参数方程绘制圆柱、圆锥、圆台侧面统一展开图

曲面的参数方程是把曲面上的任一点S的坐标写成x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)的函数形式,u、v是两个参数.根据参数方程,《几何图霸》可以方便地绘制曲面.


A. 圆柱侧面展开图的参数方程的推导
设圆柱底面半径为R,高为h.参数t控制当前展开点T的位置,曲面以t为分界值分为两个部分:当曲面方程中参数u≤t时,处于未展开部分;当u>t时,处于展开的部分.
先求第一部分u≤t时的方程.

再求第二部分u>t时的方程.

B. 圆台(圆锥)侧面展开图的参数方程的推导
设圆台下底面半径为R,上底面半径为r(r=0时为圆锥),高为h.设圆台的母线长为l,圆台对应的圆锥的高为OV=H,母线长VP=L.生成圆台的参数t控制当前展开点T的位置,曲面以t为分界值分为两个部分,未展开部分及展开部分.
先求第一部分u≤t时的方程.

 

再求第二部分u>t时的方程.

参数方程为:

C. 统一的圆柱、圆锥、圆台侧面展开图曲面方程
把前面推导的曲面参数方程用if()写成一个统一的形式.

D. 《几何图霸》中绘制圆柱、圆锥、圆台侧面展开图

1. 用【点工具】,添加“全自由点”,修改标签为“O”,作为下底面圆心;选定点O,【构造】-【平行线上点】-【平行于x轴】上的点,标签改为“A”; 同样【构造】-【平行线上点】-【平行于z轴】上的点,标签改为“O’”, 作为上底面圆心.

2. 选定点O,点A,【变换】-【标志向量】;选定点O’, 【变换】-【平移】,得点A’,改标签为“B”;连接得【线段】O’ B;用【点工具】,在线段O’ B上点击,构造线段上的点A1.

3. 选定点O,点A,用【圆工具】构造平置圆;选定点O’,点A1,用【圆工具】构造平置圆.


4. 选定点O,点A,【度量】-【两点间距离】,改标签为“R”; 选定点O’,点A1,【度量】-【两点间距离】,改标签为“r”; 选定点O,点O’,【度量】-【两点间距离】,改标签为“h”;【新建参数】,名称“t”,范围[0,2*pi];选定点O,【度量】-【坐标】-【坐标x】、【坐标y】、【坐标z】,改名称为x0、y0、z0.

5.



6. 依次选定值R,H,L,s,l,k,t,x0,y0,z0,【构造】-【曲面】-【参数方程曲面】,打开“曲面属性”对话框。


点击按钮x(u,v),输入(可以复制下面的文本,粘贴到编辑框中):
if(No4,(No3-v)*if(u<No7,No6*cos(u),No6*cos(No7)*cos(No6*(u-No7))-sin(No7)*sin(No6*(u-No7))),No1*if(u<No7,cos(u),cos(No7)-(u-No7)*sin(No7)))+No8

点击按钮y(u,v),输入:
if(No4,(No3-v)*if(u<No7,No6*sin(u),No6*sin(No7)*cos(No6*(u-No7))+cos(No7)*sin(No6*(u-No7))),No1*if(u<No7,sin(u),sin(No7)+(u-No7)*cos(No7)))+No9

点击按钮z(u,v),输入:
if(No4,No2*(1-(1-v/No3)*if(u<No7,1,cos(No6*(u-No7)))),v)+No10

参考图片,修改“范围”、“光照”等其它参数,确定; 隐藏点B,线段O’ B等.

7. 在页面的空白处右击,弹出的菜单中选【属性】,更改“主视图投影线方向”,如图.点击【常用】-【三维视图】.


8. 选中曲面,用状态栏中【标签颜色】工具修改曲面背面颜色;添加一些线段;修改圆【属性】为“圆面”,改【颜色】并【光照】;隐藏不必要的度量值与计算式;拖动图中的动点,改变图形位置、大小、类型;拖动参数t的滑动条,展开或合拢侧面.